Considere a hipérbole dada pela equação:
\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{8}=1
Determine o intervalo de valores do coeficiente angular m para que a reta r: y=m x+3 seja secante à hipérbole.

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{8}=1
e a reta
r:\;y = m x + 3
e pede os valores de m para que r seja secante à hipérbole (isto é, interseque-a em duas soluções distintas). Para isso vamos substituir y na equação da hipérbole e exigir que a quadrática resultante em x tenha discriminante positivo.

Passo 2

Substituindo y = m x + 3 em
\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{8}=1
multiplicamos ambos os lados por 24 para eliminar denominadores:
2\,x^{2}\;-\;3\,(m x + 3)^{2}\;=\;24.
Desenvolvendo:
2x^{2}-3\bigl(m^{2}x^{2}+6m x+9\bigr)=24 \;\Longrightarrow\; (2-3m^{2})\,x^{2}-18m\,x-27-24=0 \;\Longrightarrow\; (2-3m^{2})\,x^{2}-18m\,x-51=0.

Passo 3

Na quadrática
(2-3m^{2})\,x^{2}-18m\,x-51=0
temos
a = 2-3m^{2},\quad b=-18m,\quad c=-51.
O discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac =(-18m)^{2}-4\,(2-3m^{2})\,(-51) =324m^{2}+204\,(2-3m^{2}) =408-288m^{2}.

Passo 4

Para que a reta seja secante precisamos de duas raízes reais distintas, ou seja
\Delta>0 \;\Longrightarrow\; 408-288m^{2}>0 \;\Longrightarrow\; 288m^{2}<408 \;\Longrightarrow\; m^{2}<\frac{17}{12} \;\Longrightarrow\; -\sqrt{\tfrac{17}{12}}<m<\sqrt{\tfrac{17}{12}}.

Resposta

m\in\bigl(-\sqrt{\tfrac{17}{12}}\,,\,\sqrt{\tfrac{17}{12}}\bigr).

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