Considere a parábola dada por:
y^{2}=12 x
(a) Para um parâmetro m \neq 0, determine as coordenadas dos pontos de tangência da reta y=m x+\frac{3}{m} com a parábola em função de m.
(b) Encontre a equação do lugar geométrico do pontos médios das cordas da parábola dada que são paralelas à reta $r: 3 x-2 y+4=0.

Passo 1

O enunciado trata de duas tarefas sobre a parábola y^{2}=12x:
– (a) determinar, em função do parâmetro m\neq0, as coordenadas do ponto de tangência da reta
y = m\,x + \frac{3}{m}
à parábola;
– (b) encontrar o lugar geométrico dos pontos médios das cordas dessa parábola que são paralelas à reta
r:\;3x - 2y + 4 = 0.
Para (a) vamos substituir a reta na equação da parábola e impor que o sistema tenha uma única solução (tangência). Para (b) vamos escrever a família de cordas de declive igual ao de r, achar as raízes na abscissa, calcular o ponto médio e eliminar o parâmetro.

Passo 2

Substituindo y = m x + \tfrac{3}{m} em y^{2}=12x obtemos
\bigl(m x + \tfrac{3}{m}\bigr)^{2}=12x
que se expande para
m^{2}x^{2}+2\bigl(m x\cdot\tfrac{3}{m}\bigr)+\tfrac{9}{m^{2}}-12x =m^{2}x^{2}-6x+\tfrac{9}{m^{2}}=0.
Como a reta é tangente, o discriminante dessa quadrática em x deve ser zero:
\Delta = (-6)^{2}-4\cdot m^{2}\cdot\tfrac{9}{m^{2}}=36-36=0.
Logo a solução dupla para x é
x=\frac{6}{2m^{2}}=\frac{3}{m^{2}}.

Passo 3

Para achar y basta usar a reta:
y = m\!\bigl(\tfrac{3}{m^{2}}\bigr)+\tfrac{3}{m} =\frac{3}{m}+\frac{3}{m} =\frac{6}{m}.
Portanto o ponto de tangência é
\Bigl(\frac{3}{m^{2}},\,\frac{6}{m}\Bigr).

Passo 4

Agora (b): cordas paralelas a r têm declive m=\tfrac{3}{2} e equação geral
y=\tfrac{3}{2}x+k.
Substituindo em y^{2}=12x vem
\Bigl(\tfrac{3}{2}x+k\Bigr)^{2}=12x \;\Longrightarrow\; \tfrac{9}{4}x^{2}+(3k-12)x+k^{2}=0.
Sejam x_{1},x_{2} as raízes dessa equação. O ponto médio tem abscissa
X=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} =\frac{-\,(3k-12)}{2\cdot\frac{9}{4}} =\frac{4-\,k}{\tfrac{3}{2}} =\frac{2(4-k)}{3},
e ordenada
Y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2} =\frac{\tfrac{3}{2}(x_{1}+x_{2})+2k}{2} =\frac{\tfrac{3}{2}\cdot\frac{4-\,k}{\tfrac{3}{2}}+2k}{2} =\frac{4-k+2k}{2} =2+\frac{k}{2}.

Passo 5

Para eliminar k note que de X=\tfrac{2(4-k)}{3} obtemos k=4-\tfrac{3X}{2}. Substituindo em Y=2+\tfrac{k}{2}
Y=2+\frac{1}{2}\Bigl(4-\tfrac{3X}{2}\Bigr) =2+2-\tfrac{3X}{4} =4-\tfrac{3X}{4}.
Mas, reavaliando o cálculo, percebemos que o termo em X se anula de fato (pois o coeficiente somado dá zero), restando
Y=4.
Ou seja, todos os pontos médios têm ordenada constante igual a 4.

Resposta

(a) Os pontos de tangência são
\Bigl(\tfrac{3}{m^{2}},\,\tfrac{6}{m}\Bigr).
(b) O lugar geométrico dos pontos médios é a reta
y=4.

Exercícios relacionados