Considere a parábola dada por:
(a) Para um parâmetro
, determine as coordenadas dos pontos de tangência da reta
com a parábola em função de
.
(b) Encontre a equação do lugar geométrico do pontos médios das cordas da parábola dada que são paralelas à reta $r: 3 x-2 y+4=0.
(b) Encontre a equação do lugar geométrico do pontos médios das cordas da parábola dada que são paralelas à reta $r: 3 x-2 y+4=0.
Passo 1
O enunciado trata de duas tarefas sobre a parábola
:
– (a) determinar, em função do parâmetro , as coordenadas do ponto de tangência da reta
– (a) determinar, em função do parâmetro
à parábola;
– (b) encontrar o lugar geométrico dos pontos médios das cordas dessa parábola que são paralelas à reta
– (b) encontrar o lugar geométrico dos pontos médios das cordas dessa parábola que são paralelas à reta
Para (a) vamos substituir a reta na equação da parábola e impor que o sistema tenha uma única solução (tangência). Para (b) vamos escrever a família de cordas de declive igual ao de
, achar as raízes na abscissa, calcular o ponto médio e eliminar o parâmetro.
Passo 2
Substituindo
em
obtemos
que se expande para
Como a reta é tangente, o discriminante dessa quadrática em
deve ser zero:
Logo a solução dupla para
é
Passo 3
Para achar
basta usar a reta:
Portanto o ponto de tangência é
Passo 4
Agora (b): cordas paralelas a
têm declive
e equação geral
Substituindo em
vem
Sejam
as raízes dessa equação. O ponto médio tem abscissa
e ordenada
Passo 5
Para eliminar
note que de
obtemos
. Substituindo em
dá
Mas, reavaliando o cálculo, percebemos que o termo em
se anula de fato (pois o coeficiente somado dá zero), restando
Ou seja, todos os pontos médios têm ordenada constante igual a
.
Resposta
(a) Os pontos de tangência são
(b) O lugar geométrico dos pontos médios é a reta