Considere a parábola de equação:
y^{2}=8 x
(a) Encontre a equação da reta tangente à parábola que tem inclinação m=1.
(b) Verifique se a reta r: x-y+1=0 é secante, tangente ou exterior à parábola.

Passo 1

O enunciado dá a parábola definida por
y^{2}=8x
e pede:
a) a reta tangente cuja inclinação é m=1;
b) classificar se a reta r\colon x - y +1=0 é secante, tangente ou exterior à parábola.
Para isso vamos usar derivação implícita para achar o ponto de tangência e, em seguida, estudar a interseção da reta com a parábola via equação quadrática e seu discriminante.

Passo 2

Diferenciando \,y^{2}=8x de forma implícita, obtemos
2y\,\frac{dy}{dx}=8
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\frac{dy}{dx}=\frac{8}{2y}=\frac{4}{y}.
Para que a inclinação seja m=1, impomos
\frac{4}{y}=1\quad\Longrightarrow\quad y=4.
Substituindo em y^{2}=8x, temos
4^{2}=8x\quad\Longrightarrow\quad 16=8x\quad\Longrightarrow\quad x=2.
O ponto de tangência é (2,4).

Passo 3

A reta tangente de inclinação m=1 que passa por (2,4) satisfaz
y-4=1\,(x-2)
portanto
y=x+2.

Passo 4

Para classificar a reta r\colon x-y+1=0, escrevemos y=x+1 e substituímos em y^{2}=8x:
(x+1)^{2}=8x
x^{2}+2x+1=8x
x^{2}-6x+1=0.

Passo 5

Calculamos o discriminante dessa equação quadrática:
\Delta = (-6)^{2}-4\cdot1\cdot1=36-4=32>0.
Como \Delta>0, há duas interseções reais distintas, então a reta é secante à parábola.

Resposta

(a) y=x+2.
(b) A reta x-y+1=0 é secante à parábola.

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