Considere a parábola de equação:
(a) Encontre a equação da reta tangente à parábola que tem inclinação
.
(b) Verifique se a reta
é secante, tangente ou exterior à parábola.
(b) Verifique se a reta
Passo 1
O enunciado dá a parábola definida por
e pede:
a) a reta tangente cuja inclinação é ;
b) classificar se a reta é secante, tangente ou exterior à parábola.
Para isso vamos usar derivação implícita para achar o ponto de tangência e, em seguida, estudar a interseção da reta com a parábola via equação quadrática e seu discriminante.
a) a reta tangente cuja inclinação é
b) classificar se a reta
Para isso vamos usar derivação implícita para achar o ponto de tangência e, em seguida, estudar a interseção da reta com a parábola via equação quadrática e seu discriminante.
Passo 2
Diferenciando
de forma implícita, obtemos
logo
Para que a inclinação seja
, impomos
Substituindo em
, temos
O ponto de tangência é
.
Passo 3
A reta tangente de inclinação
que passa por
satisfaz
portanto
Passo 4
Para classificar a reta
, escrevemos
e substituímos em
:
Passo 5
Calculamos o discriminante dessa equação quadrática:
Como
, há duas interseções reais distintas, então a reta é secante à parábola.
Resposta
(a)
.
(b) A reta é secante à parábola.
(b) A reta