Considere a parábola com reta diretriz e vértice :
Determinar a equação da parábola.
Passo 1
O enunciado dá uma parábola cujo vértice é
e cuja reta diretriz é
O conteúdo envolvido é geometria analítica de cônicas: vamos usar a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos cuja distância a um foco é igual à distância à diretriz, além de explorar o fato de que o foco está sobre a reta perpendicular à diretriz que passa pelo vértice.
Passo 2
Primeiro determinamos a distância do vértice à diretriz e a direção do eixo da parábola.
A distância de à reta vale
A direção normal à diretriz (e portanto direção do eixo) é dada pelo vetor (1,-1), cujo versor é l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r).
Passo 3
O foco fica no mesmo lado da reta diretriz que o vértice (já que a parábola “abre” em direção ao foco), a uma distância d ao longo da direção normal. Logo
F ;=; V + dcdot(1,-1)raiz2 ;=;l(tfrac12,-tfrac12r) +14raiz2l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r) =l(tfrac12+tfrac18,,-tfrac12-tfrac18r) =l(tfrac58,-tfrac58r)
Passo 4
Pela definição de parábola, para um ponto genérico (x,y) vale
raizl(x-tfrac58r)^2+l(y+tfrac58r)^2 ;=; l|,x - y - tfrac34r|raiz2
Passo 5
Quadrando os dois lados e multiplicando por 2 obtemos