Considere a parábola com reta diretriz x-y=34 e vértice V=(12,-12) :
Determinar a equação da parábola.

Passo 1

O enunciado dá uma parábola cujo vértice é
V=l(tfrac12,-tfrac12r)
e cuja reta diretriz é
x - y - tfrac34 = 0
O conteúdo envolvido é geometria analítica de cônicas: vamos usar a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos cuja distância a um foco é igual à distância à diretriz, além de explorar o fato de que o foco está sobre a reta perpendicular à diretriz que passa pelo vértice.

Passo 2

Primeiro determinamos a distância do vértice à diretriz e a direção do eixo da parábola.
A distância de V=(x0,y0) à reta x-y-tfrac34=0 vale
d = l|x0 - y0 - tfrac34r|raiz1^2+(-1)^2 = l|tfrac12 -(-tfrac12)-tfrac34r|raiz2 = l|1-tfrac34r|raiz2 = tfrac14raiz2 = 14raiz2
A direção normal à diretriz (e portanto direção do eixo) é dada pelo vetor (1,-1), cujo versor é l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r).

Passo 3

O foco fica no mesmo lado da reta diretriz que o vértice (já que a parábola “abre” em direção ao foco), a uma distância d ao longo da direção normal. Logo
F ;=; V + dcdot(1,-1)raiz2 ;=;l(tfrac12,-tfrac12r) +14raiz2l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r) =l(tfrac12+tfrac18,,-tfrac12-tfrac18r) =l(tfrac58,-tfrac58r)

Passo 4

Pela definição de parábola, para um ponto genérico (x,y) vale
raizl(x-tfrac58r)^2+l(y+tfrac58r)^2 ;=; l|,x - y - tfrac34r|raiz2

Passo 5

Quadrando os dois lados e multiplicando por 2 obtemos
2l[(x-tfrac58)^2+(y+tfrac58)^2r] =l(x-y-tfrac34r)^2
Expandindo cada lado e recolhendo todos os termos em um lado dá
x^2+2xy+y^2 - x + y +1 = 0

Resposta

x^2 + 2xy + y^2 ;-; x ;+; y ;+; 1 ;=; 0

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