Considere a parábola com reta diretriz e vértice :
Determinar seus principais elementos: foco, reta focal, parâmetro da parábola.
Passo 1
O enunciado descreve uma parábola cuja reta diretriz é
e cujo vértice é
O conteúdo aqui é geometria analytic de cônicas: a parábola é o lugar dos pontos equidistantes de um foco e de uma diretriz. Vamos usar vetores normais, distância ponto-reta e a definição de vértice (ponto médio fóco-reta).
Passo 2
Primeiro achamos a reta eixo (reta focal), que é perpendicular à diretriz e passa por . A reta diretriz tem vetor normal
logo a reta eixo tem a mesma direção de . Sua equação, passando por , é
Passo 3
O parâmetro da parábola é a distância do vértice à diretriz (e também do vértice ao foco). Calculamos
Passo 4
O foco está sobre o eixo, do mesmo lado da diretriz onde fica o vértice, a uma distância p de V. O versor da reta eixo é
n|n| = (1,-1)raiz2,
logo
F = V + p,n|n| = l(tfrac12,,-tfrac12r) + 14raiz2,(1,-1)raiz2 = l(tfrac12 + tfrac18,,-tfrac12 - tfrac18r) = l(tfrac58,,-tfrac58r)
Resposta
Foco: l(tfrac58,,-tfrac58r)
Reta focal (eixo): x + y = 0
Parâmetro: p = 14raiz2