Determine o raio e o centro das seguintes circunferências:
(a) x^2+2 x+y^2=0;
(b) r=sen(theta), equação dada em coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede o centro e o raio de duas circunferências:
(a) dada na forma cartesiana x^2+2x+y^2=0;
(b) dada em coordenadas polares r=sen(theta).
Para (a) vamos completar o quadrado em x. Para (b) vamos passar para coordenadas cartesianas usando x=rcostheta e y=rsintheta.

Passo 2

No item (a) temos
x^2+2x+y^2=0
Para completar o quadrado em x, escrevemos
x^2+2x = x^2+2x+1 - 1 = (x+1)^2-1
Logo a equação fica
(x+1)^2-1 + y^2=0 Longrightarrow (x+1)^2+y^2=1

Passo 3

Da forma
(x+1)^2+y^2=1
vemos que o centro é (-1,0) e o raio é 1.

Passo 4

No item (b) partimos de
r=sen(theta)
Multiplicando ambos os lados por r obtemos
r^2=r,sen(theta) Longrightarrow x^2+y^2=y,
pois r^2=x^2+y^2 e rsintheta=y.

Passo 5

Agora escrevemos
x^2+y^2-y=0 Longrightarrow x^2 + l(y^2-y+tfrac14r)=tfrac14
Ou seja,
x^2 + l(y-tfrac12r)^2 = l(tfrac12r)^2

Passo 6

Da forma
x^2 + l(y-tfrac12r)^2 = l(tfrac12r)^2
vemos que o centro é l(0,tfrac12r) e o raio é tfrac12.

Resposta

(a) Centro (-1,0), raio 1.
(b) Centro l(0,tfrac12r), raio tfrac12.

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