(c) Considere a hipérbole situada no plano xy de equação neste plano dada por
A equação da superfície de revolução gerada pela rotação desta hipérbole em torno do eixo y é obtida trocando-se por na equação acima. Ou seja,
que é a equação de um hiperbolóide de duas folhas.
(d) Considere a parábola situada no plano xz de equação neste plano dada por
A equação da superfície de revolução gerada pela rotação desta parábola em torno do eixo z é obtida trocando-se por na equação acima. Ou seja,
que é a equação de um parabolóide elíptico.
(e) Considere a reta situada no plano de equação neste plano dada por
A equação da superfície de revolução gerada pela rotação desta reta em torno do eixo z é obtida trocando-se por na equação acima. Ou seja,
que é equivalente à equação
que é a equação de um cone circular.
Passo 1
O enunciado pede para obter as superfícies de revolução, ao girar certas curvas planas em torno de um eixo. O conteúdo é “superfícies de revolução” e a técnica básica é substituir a coordenada da curva (por exemplo ) pelo raio do círculo gerado ao revolver — seja (revolução em torno de ) ou (revolução em torno de ) — dentro da equação original da curva.
Passo 2
(c) Temos a hipérbole no plano :
Ao girar em torno do eixo , o valor absoluto de vira o raio no plano , isto é, . Substituindo:
Essa é a equação de um hiperbolóide de duas folhas, pois só existem pontos reais quando .
Passo 3
(d) Temos a parábola no plano xz:
z=x^2a^2
Ao girar em torno do eixo z, substituímos x por raizx^2+y^2, dando