(c) Considere a hipérbole situada no plano xy de equação neste plano dada por
y^2a^2-x^2b^2=1
A equação da superfície de revolução gerada pela rotação desta hipérbole em torno do eixo y é obtida trocando-se x por pm raizx^2+z^2 na equação acima. Ou seja,
y^2a^2-x^2b^2-z^2b^2=1
que é a equação de um hiperbolóide de duas folhas.
(d) Considere a parábola situada no plano xz de equação neste plano dada por
z=x^2a^2
A equação da superfície de revolução gerada pela rotação desta parábola em torno do eixo z é obtida trocando-se x por pm raizx^2+y^2 na equação acima. Ou seja,
z=x^2a^2+y^2a^2,
que é a equação de um parabolóide elíptico.
(e) Considere a reta situada no plano x z de equação neste plano dada por
z=xa
A equação da superfície de revolução gerada pela rotação desta reta em torno do eixo z é obtida trocando-se x por pm raizx^2+y^2 na equação acima. Ou seja,
z= pm raizx^2+y^2a
que é equivalente à equação
z^2=x^2a^2+y^2a^2,
que é a equação de um cone circular.

Passo 1

O enunciado pede para obter as superfícies de revolução, ao girar certas curvas planas em torno de um eixo. O conteúdo é “superfícies de revolução” e a técnica básica é substituir a coordenada da curva (por exemplo x) pelo raio do círculo gerado ao revolver — seja raizx^2+z^2 (revolução em torno de y) ou raizx^2+y^2 (revolução em torno de z) — dentro da equação original da curva.

Passo 2

(c) Temos a hipérbole no plano xy:
y^2a^2-x^2b^2=1
Ao girar em torno do eixo y, o valor absoluto de x vira o raio no plano xz, isto é, raizx^2+z^2. Substituindo:
y^2a^2-l(raizx^2+z^2r)^2b^2=1 Longrightarrow y^2a^2-x^2+z^2b^2=1
Essa é a equação de um hiperbolóide de duas folhas, pois só existem pontos reais quando l|yr|>= a.

Passo 3

(d) Temos a parábola no plano xz:
z=x^2a^2
Ao girar em torno do eixo z, substituímos x por raizx^2+y^2, dando
z=l(raizx^2+y^2r)^2a^2 Longrightarrow z=x^2+y^2a^2
Essa é a equação de um parabolóide elíptico, aberto para z>=0.

Passo 4

(e) Temos a reta no plano xz:
z=xa
Girando em torno do eixo z, trocamos x por raizx^2+y^2, obtendo
z=raizx^2+y^2a
Elevando ao quadrado, fica
z^2=x^2+y^2a^2,
que é a equação de um cone circular duplo com vértice na origem.

Resposta

(c) y^2a^2-x^2+z^2b^2=1, hiperbolóide de duas folhas.
(d) z=x^2+y^2a^2, parabolóide elíptico.
(e) z^2=x^2+y^2a^2, cone circular duplo.

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