6.2.1. Dadas as equações da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes determine a equação da superfície cilíndrica
(c) x^2-y^2=1, z=0 e V=(0,2,-1)

Passo 1

O enunciado dá como diretriz a curva no plano z=0 definida por
x^2-y^2=1,
e um vetor paralelo às geratrizes
V = (0,2,-1)
Queremos achar a equação implícita da superfície cilíndrica cujas geratrizes são retas paralelas a V passando por cada ponto da curva diretriz.

Passo 2

Uma reta geratriz que passa por um ponto (x0,y0,0) da diretriz pode ser parametrizada por t como
(x,y,z) ;=; (x0,y0,0) ;+; t,(0,2,-1)
Isto é,
x = x0, y = y0 + 2t, z = -,t

Passo 3

Da última equação ;z=-t; segue t=-,z. Substituindo em y = y0+2t obtemos
y = y0 + 2(-z) Longrightarrow y0 = y + 2z
Além disso x0=x.

Passo 4

Como (x0,y0,0) pertence à diretriz, vale
x0^2 - y0^2 = 1
Substituindo x0=x e y0=y+2z,
x^2 ;-;(y+2z)^2 = 1
Essa é a equação implícita da superfície cilíndrica.

Resposta

x^2 - (y + 2z)^2 = 1

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