Proposição 6.3. Considere uma superfície de revolução.
Se o seu eixo de revolução é o eixo x e a curva geratriz está situada no plano x z com equação neste plano dada por f(x, z)=0, então a equação da superfície é
f(x, pm raizy^2+z^2)=0
e se a curva geratriz está situada no semiplano xy com equação neste plano dada por f(x, y)=0, então a equação da superfície é
f(x, pm raizy^2+z^2)=0

Passo 1

O enunciado fala de uma superfície obtida por revolução em torno do eixo x. Temos duas situações:
  1. A curva geratriz está no plano xz e vem dada implicitamente por
f(x,z)=0
  1. A curva geratriz está no plano xy e vem dada implicitamente por
f(x,y)=0
O objetivo é encontrar a equação implícita da superfície resultante da rotação dessa curva em torno do eixo x.

Passo 2

Suponha que a geratriz está no plano xz e satisfaz ,f(x,z)=0. Ao girar essa curva em torno do eixo x, cada ponto (x,z) gera um círculo de raio lvert zrvert no plano perpendicular ao eixo x, ou seja, no plano yz. Num ponto genérico da superfície, chamemos suas coordenadas de (x,y,z). A distância desse ponto ao eixo x é
raizy^2+z^2,
que deve igualar o valor original de z (no geratriz) em módulo. Logo, para que (x,y,z) pertença à superfície, devemos ter
fl(x,pmraizy^2+z^2r)=0

Passo 3

Agora suponha que a geratriz está no plano xy e satisfaz ,f(x,y)=0. Girando em torno do eixo x, cada ponto (x,y) descreve um círculo de raio lvert yrvert no plano yz. Num ponto geral (x,y,z) da superfície, novamente a distância ao eixo x é raizy^2+z^2, que em valor absoluto deve coincidir com o valor original de y na geratriz. Assim a equação implícita da superfície é
fl(x,pmraizy^2+z^2r)=0

Resposta

Para ambos os casos (geratriz em xz ou em xy) a equação da superfície de revolução em torno do eixo x fica
fl(x,pmraizy^2+z^2r)=0

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