Proposição 6.3. Considere uma superfície de revolução.
Se o seu eixo de revolução é o eixo
e a curva geratriz está situada no plano
com equação neste plano dada por
, então a equação da superfície é
e se a curva geratriz está situada no semiplano xy com equação neste plano dada por
, então a equação da superfície é
Se o seu eixo de revolução é o eixo
Passo 1
O enunciado fala de uma superfície obtida por revolução em torno do eixo
. Temos duas situações:
- A curva geratriz está no plano
e vem dada implicitamente por
- A curva geratriz está no plano
e vem dada implicitamente por
O objetivo é encontrar a equação implícita da superfície resultante da rotação dessa curva em torno do eixo
.
Passo 2
Suponha que a geratriz está no plano
e satisfaz
. Ao girar essa curva em torno do eixo
, cada ponto
gera um círculo de raio
no plano perpendicular ao eixo
, ou seja, no plano
. Num ponto genérico da superfície, chamemos suas coordenadas de
. A distância desse ponto ao eixo
é
que deve igualar o valor original de
(no geratriz) em módulo. Logo, para que
pertença à superfície, devemos ter
Passo 3
Agora suponha que a geratriz está no plano
e satisfaz
. Girando em torno do eixo
, cada ponto
descreve um círculo de raio
no plano
. Num ponto geral
da superfície, novamente a distância ao eixo
é
, que em valor absoluto deve coincidir com o valor original de
na geratriz. Assim a equação implícita da superfície é
Resposta
Para ambos os casos (geratriz em
ou em
) a equação da superfície de revolução em torno do eixo
fica