6.2.1. Dadas as equações da curva diretriz e um vetor paralelo às retas geratrizes determine a equação da superfície cilíndrica
(a) y^2=4 x, z=0 e V=(1,-1,1)

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma superfície cilíndrica cuja diretriz é a curva definida por
y^2 = 4x, z=0
e cujas geratrizes são retas paralelas ao vetor
V = (1,-1,1)
Para resolver vamos usar a definição de superfície cilíndrica: um ponto (x,y,z) pertence à superfície se a reta paralela a V que passa por esse ponto intercepta a diretriz.

Passo 2

Chamemos de lambda o parâmetro ao longo da reta geratriz. A reta paralela a V que passa por (x,y,z) pode ser descrita por
(x,y,z) - lambda,(1,-1,1) = (x - lambda,;y + lambda,;z - lambda)
Para que (x,y,z) esteja na superfície, deve existir lambda tal que esse ponto pertença à diretriz, ou seja satisfaça
(y + lambda)^2 = 4,(x - lambda), z - lambda = 0

Passo 3

Da segunda equação z - lambda = 0 obtemos imediatamente
lambda = z
Substituindo lambda = z na primeira equação da diretriz, ficamos com
(y + z)^2 = 4,l(x - zr)

Resposta

A equação implícita da superfície cilíndrica é
(y + z)^2 = 4,(x - z)

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