Proposição 6.3. Considere uma superfície de revolução.
Se o seu eixo de revolução é o eixo y e a curva geratriz está situada no plano yz com equação neste plano dada por
, então a equação da superfície é
e se a curva geratriz está situada no plano xy com equação neste plano dada por
, então a equação da superfície é
Se o seu eixo de revolução é o eixo y e a curva geratriz está situada no plano yz com equação neste plano dada por
Passo 1
Vamos demonstrar a Proposição 6.3, cujo conteúdo é superfícies de revolução. Precisamos lembrar que, ao girar uma curva geratriz em um plano ao redor de um eixo, a terceira coordenada da superfície resultante é dada pela distância radial ao eixo de revolução.
Passo 2
Considere primeiro o eixo de revolução sendo o eixo
e a curva geratriz no plano
descrita por
Ao girar essa curva em torno de
, um ponto
gera todos os pontos
tais que a projeção no plano
satisfaz
Portanto, na superfície de revolução basta substituir
por
em
.
Passo 3
Formalmente, a equação da superfície é
Isto garante que, para cada
, a curva em
se expande radialmente em todas as direções do plano
.
Passo 4
Agora considere o eixo de revolução sendo novamente o eixo
, mas com a curva geratriz no plano
descrita por
Ao girar esta curva em torno de
, um ponto
gera todos os pontos
tais que
Passo 5
Logo, a equação da superfície resultante é
pois substituímos
pelo raio
no plano
.
Resposta
Para o eixo de revolução
com geratriz em
:
Para o eixo de revolução
com geratriz em
: