Proposição 6.3. Considere uma superfície de revolução.
Se o seu eixo de revolução é o eixo y e a curva geratriz está situada no plano yz com equação neste plano dada por f(y, z)=0, então a equação da superfície é
f(y, pm raizx^2+z^2)=0
e se a curva geratriz está situada no plano xy com equação neste plano dada por f(x, y)=0, então a equação da superfície é
f( pm raizx^2+z^2, y)=0

Passo 1

Vamos demonstrar a Proposição 6.3, cujo conteúdo é superfícies de revolução. Precisamos lembrar que, ao girar uma curva geratriz em um plano ao redor de um eixo, a terceira coordenada da superfície resultante é dada pela distância radial ao eixo de revolução.

Passo 2

Considere primeiro o eixo de revolução sendo o eixo y e a curva geratriz no plano yz descrita por
f(y,z)=0
Ao girar essa curva em torno de y, um ponto (y,z) gera todos os pontos l(y,x',z'r) tais que a projeção no plano xz satisfaz
raizx'^2+z'^2=|z|
Portanto, na superfície de revolução basta substituir z por pmraizx^2+z^2 em f(y,z).

Passo 3

Formalmente, a equação da superfície é
f!l(y,pmraizx^2+z^2r)=0
Isto garante que, para cada y, a curva em z se expande radialmente em todas as direções do plano xz.

Passo 4

Agora considere o eixo de revolução sendo novamente o eixo y, mas com a curva geratriz no plano xy descrita por
f(x,y)=0
Ao girar esta curva em torno de y, um ponto (x,y) gera todos os pontos l(x',y,z'r) tais que
raizx'^2+z'^2=|x|

Passo 5

Logo, a equação da superfície resultante é
f!l(pmraizx^2+z^2,,yr)=0,
pois substituímos x pelo raio pmraizx^2+z^2 no plano xz.

Resposta

Para o eixo de revolução y com geratriz em yz:
f!l(y,pmraizx^2+z^2r)=0
Para o eixo de revolução y com geratriz em xy:
f!l(pmraizx^2+z^2,,yr)=0

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