Considere as hipóteses
\begin{aligned} & H_{\mathrm{o}}: \mu=\mu_{\mathrm{o}} \\\ & H_{\mathrm{o}}: \mu \neq \mu_{\mathrm{o}} \end{aligned}
\operatorname{com} \sigma^{2} conhecido. Deduza uma expressão geral para a determinação do tamanho da amostra que detecta a verdadeira média \mu_{\mathrm{I}} \neq \mu_{\mathrm{o}}, com probabilidade \mathrm{I}-\beta se o erro tipo I for \alpha.

Passo 1

O enunciado trata de um teste de hipóteses bilateral
H_0:\mu=\mu_0 \quad\text{versus}\quad H_1:\mu\neq\mu_0
com variância \sigma^2 conhecida.
Queremos escolher o tamanho de amostra n de forma que, quando a verdadeira média for \mu_I\neq\mu_0, a probabilidade de rejeitar H_0 (ou seja, o poder do teste) seja 1-\beta, mantendo o nível de significância \alpha.

Passo 2

Usamos a estatística
Z = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}},
que sob H_0 segue \mathcal N(0,1). Para nível \alpha num teste bilateral, rejeitamos H_0 se
|Z| > z_{1-\alpha/2},
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil de ordem 1-\alpha/2 da normal padrão.

Passo 3

Quando a verdadeira média é \mu_I, temos
\bar X\sim\mathcal N\bigl(\mu_I,\;\sigma^2/n\bigr),
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\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim\mathcal N\!\Bigl(\frac{\mu_I-\mu_0}{\sigma/\sqrt n},\,1\Bigr).
Definindo o desvio padronizado \Delta=\frac{|\mu_I-\mu_0|}{\sigma}, a estatística vira \mathcal N(\Delta\sqrt n,1) ou \mathcal N(-\Delta\sqrt n,1), mas pelo simétrico basta usar o módulo.

Passo 4

O poder do teste é
1-\beta = P\bigl(|Z|>z_{1-\alpha/2}\mid\mu=\mu_I\bigr) = P\bigl(Z>z_{1-\alpha/2}-\Delta\sqrt n\bigr) +P\bigl(Z< -z_{1-\alpha/2}-\Delta\sqrt n\bigr).
Para garantir 1-\beta, escolhe-se n de modo que
\Delta\sqrt n = z_{1-\alpha/2}+z_{1-\beta},
onde z_{1-\beta} é o quantil de ordem 1-\beta da normal padrão.

Passo 5

Isolando n, temos
\sqrt n = \frac{z_{1-\alpha/2}+z_{1-\beta}}{\Delta} \quad\Longrightarrow\quad n = \Biggl(\frac{z_{1-\alpha/2}+z_{1-\beta}}{\Delta}\Biggr)^{\!2} = \frac{\bigl(z_{1-\alpha/2}+z_{1-\beta}\bigr)^{2}\,\sigma^{2}}{(\mu_I-\mu_0)^{2}}.

Resposta

n \;=\;\frac{\bigl(z_{1-\alpha/2}+z_{1-\beta}\bigr)^{2}\,\sigma^{2}}{(\mu_I-\mu_0)^{2}}.

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