Um inspetor conta os defeitos no acabamento da superfície de uma máquina lava-louças. Uma amostra aleatória de cinco lava-louças contém três de tais defeitos. Há razão para se concluir que a taxa média de ocorrência de defeitos de acabamento da superfície por lava-louça exceda 0,5 ? Use o resultado da parte (a) do Exercício 4.32 e suponha \alpha=0,05.

Passo 1

O enunciado supõe que o número de defeitos em cada lava-louças segue uma distribuição de Poisson com parâmetro \lambda. Temos uma amostra aleatória de tamanho n=5 com total observado de 3 defeitos. Queremos testar
H_0:\lambda=0{,}5 \quad\text{vs.}\quad H_1:\lambda>0{,}5
ao nível de significância \alpha=0,05. Pela parte (a) do Exercício 4.32, o teste pode ser feito tomando como estatística de teste
T = \sum_{i=1}^{5} X_i,
que sob H_0 satisfaz T\sim\mathrm{Poisson}(n\lambda_0)=\mathrm{Poisson}(5\cdot0,5)=\mathrm{Poisson}(2,5).

Passo 2

Para um teste unilateral à direita, escolhemos a região crítica T\ge c, onde c é o menor inteiro tal que
P(T\ge c\mid H_0)\le 0,05.
Calculamos as probabilidades cumulativas de T sob H_0:
P(T\le k)=\sum_{j=0}^{k} e^{-2,5}\frac{2,5^{\,j}}{j!}.

Passo 3

Vamos avaliar P(T\ge c) até encontrar o c desejado.
Para c=5:
P(T\ge5)=1-P(T\le4) =1-\sum_{j=0}^{4} e^{-2,5}\frac{2,5^j}{j!} \approx1-0,8905=0,1095>0,05.
Para c=6:
P(T\ge6)=1-P(T\le5) \approx1-0,9573=0,0427\le0,05.
Logo, a região crítica é T\ge6.

Passo 4

O valor observado é T_{\text{obs}}=3, que não pertence à região crítica \{T\ge6\}. Portanto não rejeitamos H_0. Em outras palavras, ao nível \alpha=0,05 não há evidência para concluir que a taxa média \lambda excede 0{,}5.

Resposta

Não rejeita-se H_0; não há razão estatística para concluir que \lambda>0{,}5.

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