Considere A=(ll2 & 0 4 & 1).
a) Indique a matriz A^2-2 cdot A+I2
b) A matriz A é invertível ? Em caso afirmativo, indique A^-3=(A^-1)^3.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=2 & 04 & 1
e pede:
a) calcular A^2 - 2A + I2, que é uma combinação de potências e soma de matrizes;
b) verificar se A é invertível via determinante e, em caso afirmativo, exibir
A^-3=(A^-1)^3
Vamos usar operações de multiplicação e soma de matrizes, a definição de determinante 2times 2 e a fórmula do inverso em 2times 2.

Passo 2

Para obter A^2, multiplicamos A por A:
A^2 =2 & 04 & 1 2 & 04 & 1 =2cdot2+0cdot4 & 2cdot0+0cdot14cdot2+1cdot4 & 4cdot0+1cdot1 =4 & 012 & 1

Passo 3

Agora calculamos
A^2 - 2A + I2 =4 & 012 & 1 -22 & 04 & 1 +1 & 00 & 1 =4-4+1 & 0-0+012-8+0 & 1-2+1 =1 & 04 & 0

Passo 4

O determinante de A é
det(A)=2cdot1-0cdot4=2neq0,
portanto A é invertível. Pela fórmula do inverso em 2times 2,
A^-1=1det(A) d & -b-c & a =121 & 0-4 & 2 =tfrac12 & 0-2 & 1

Passo 5

Para elevar ao cubo, calculamos
(A^-1)^2 =tfrac12 & 0-2 & 1^2 =tfrac14 & 0-3 & 1,
(A^-1)^3 =(A^-1)^2,(A^-1) =tfrac14 & 0-3 & 1 tfrac12 & 0-2 & 1 =tfrac18 & 0-tfrac72 & 1

Resposta

a) 1 & 04 & 0
b) Sim.
A^-3=tfrac18 & 0-tfrac72 & 1

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