Mostre que as únicas matrizes quadradas de ordem 2 que comutam tanto com a matriz (ll1 & 0 0 & 0) quanto com a matriz (ll0 & 1 0 & 0) são múltiplas de I2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz quadrada de ordem 2, digamos \r
\r
(com entradas em algum corpo ), comuta simultaneamente com \r
\r
e \r
\r
então deve ser um múltiplo escalar de . Usaremos a definição de comutador \r
\r
e igualaremos entradas para determinar .

Passo 2

Escrevemos a matriz genérica \r
\r
e calculamos \r

Passo 3

Impor significa \r
logo comparando entradas obtemos \r
\r
e \r
.\r
Portanto, qualquer tal deve ter a forma \r

Passo 4

Agora exigimos que este A comute com \r
E12=0&10&0 \r
Calculamos \r
AE12 =a&00&d 0&10&0 =0&a0&0,
E12A =0&10&0 a&00&d =0&d0&0

Passo 5

Igualando AE12=E12A dá \r
0&a0&0 =0&d0&0,
portanto \r
;a=d.

Passo 6

Com b=c=0 e a=d, concluímos \r
A=a&00&a =a1&00&1 =a,I2, \r
ou seja, A é múltiplo escalar de I2.

Resposta

As únicas matrizes de ordem 2 que comutam simultaneamente com \r
1&00&0 e \r
0&10&0 são exatamente os múltiplos de ,I2.

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