Verifique que a matriz (cc3 & 0 8 & -1) é uma raiz do polinômio f(x)=x^2-2 x-3.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a matriz
A = 3 & 0 [6pt] 8 & -1
é raiz do polinômio
f(x) = x^2 - 2x - 3
Ou seja, precisamos mostrar que
f(A)=A^2-2A-3I = 0,
oncele I é a matriz identidade 2times2.]

Passo 2

Calculemos primeiro A^2. Usando a definição de produto de matrizes:
A^2 = 3 & 0 [4pt] 8 & -1 3 & 0 [4pt] 8 & -1 = 3cdot3 + 0cdot8 & 3cdot0 + 0cdot(-1) [6pt] 8cdot3 + (-1)cdot8 & 8cdot0 + (-1)cdot(-1) = 9 & 0 [4pt]16 & 1 ]

Passo 3

Agora formamos A^2-2A:
2A = 23 & 0 [4pt]8 & -1 = 6 & 0 [4pt]16 & -2,
logo
A^2-2A = 9 & 0 [4pt]16 & 1 - 6 & 0 [4pt]16 & -2 = 9-6 & 0-0 [4pt]16-16 & 1-(-2) = 3 & 0 [4pt]0 & 3 = 3I ]

Passo 4

Finalmente,
f(A)=A^2-2A-3I = 3I - 3I = 0 & 0 [4pt]0 & 0
Isso mostra que f(A)=0, ou seja, A é raiz de f.]

Resposta

A verificação está concluída, pois f(A)=0, logo
boxed,3 & 0 [4pt]8 & -1 é raiz de f(x)=x^2-2x-3! é]

Exercícios relacionados