Seja
. Encontre
A^n .
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
e pede
A^n . O conteúdo principal aqui é exponenciação de matrizes triangulares pelo uso da decomposição
e do Teorema binomial para matrizes.
Passo 2
Definimos
Vamos verificar que
N é nilpotente de ordem 2, ou seja,
N^2 = 0 . De fato,
Passo 3
Como
N^2=0 , podemos usar o binômio de Newton para matrizes:
Mas
N^k=0 para todo
k>=2 , logo só os termos
k=0 e
k=1 sobrevivem:
Passo 4
Substituindo
I e
N , obtemos