Seja A=(ll1 & 2 0 & 1). Encontre A^n.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 20 & 1
e pede A^n. O conteúdo principal aqui é exponenciação de matrizes triangulares pelo uso da decomposição
A = I + N
e do Teorema binomial para matrizes.

Passo 2

Definimos
I = 1 & 00 & 1, N = A - I = 0 & 20 & 0
Vamos verificar que N é nilpotente de ordem 2, ou seja, N^2 = 0. De fato,
N^2 = 0 & 20 & 0 0 & 20 & 0 = 0cdot0 + 2cdot0 & 0cdot2 + 2cdot0 0cdot0 + 0cdot0 & 0cdot2 + 0cdot0 = 0 & 00 & 0

Passo 3

Como N^2=0, podemos usar o binômio de Newton para matrizes:
A^n = (I+N)^n = sumk=0^n binomnk N^k
Mas N^k=0 para todo k>=2, logo só os termos k=0 e k=1 sobrevivem:
A^n = binomn0N^0 + binomn1N = I + n,N

Passo 4

Substituindo I e N, obtemos
A^n = I + n,N = 1 & 00 & 1 + n0 & 20 & 0 = 1 & 2n0 & 1

Resposta

A^n = 1 & 2n0 & 1

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