Determine todas as matrizes de ordem 2 que comutam com a matriz (cc1 & 2 -2 & 1).

Passo 1

O enunciado pede as matrizes X in M2(R) que comutam com
A = 1 & 2 -2 & 1
O conteúdo é encontrar o centralizador de A em M2(R).
Para isso, tomamos a matriz genérica
X = a & b c & d
e exigimos
AX = XA

Passo 2

Calculemos
AX = 1 & 2 -2 & 1 a & b c & d = a+2c & b+2d -2a+c & -2b+d,
e
XA = a & b c & d 1 & 2 -2 & 1 = a-2b & 2a+b c-2d & 2c+d
Impor AX=XA dá o sistema
a + 2c = a - 2b, b + 2d = 2a + b, -2a + c = c - 2d, -2b + d = 2c + d

Passo 3

Das duas primeiras equações obtemos
2c = -2b Rightarrow c = -b, 2d = 2a Rightarrow d = a
As outras duas são redundantes. Logo
X = a & b -b & a,
com a,b in R.

Passo 4

Portanto, o conjunto de todas as matrizes que comutam com A é
la & b -b & am|a,b in Rr,
uma álgebra real de dimensão dois, isomorfa a C.

Resposta

Todas as matrizes 2times2 que comutam com
1 & 2 -2 & 1 são
a & b -b & a,
com a,b in R.

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