Considere as informações fornecidas:
g(2)=3 \quad g^{\prime}(2)=-2 \quad h(2)=-1 \quad h^{\prime}(2)=4
Determine f^{\prime}(2), em cada situação:
f(x)=2 g(x)+h(x)

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados:
  • g(2)=3
  • g^{\prime}(2)=-2
  • h(2)=-1
  • h^{\prime}(2)=4
A pergunta é: determinar f^{\prime}(2) para a função
f(x)=2\,g(x)+h(x).

Passo 2

Vamos lembrar duas regras básicas e muito úteis sobre derivadas — vou explicar o que cada uma significa e por que vale:
  1. Regra do múltiplo constante. Se c é um número constante e g é diferenciável, então
\frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g^{\prime}(x).
O sentido é simples: multiplicar a função por uma constante só escala as variações, então a taxa de variação (derivada) também é escalada pela mesma constante. Formalmente isso vem da definição do limite:
\frac{d}{dx}\big(c\,g(x)\big)=\lim_{h\to0}\frac{c\,g(x+h)-c\,g(x)}{h} = c\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=c\,g^{\prime}(x).
  1. Regra da soma. Se g e h são diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(g(x)+h(x)\big)=g^{\prime}(x)+h^{\prime}(x).
Ou seja, a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Isso também se obtém diretamente pela definição do limite, distribuindo a diferença sobre a soma.
Essas duas regras permitem derivar combinações lineares de funções sem refazer limites do zero.

Passo 3

Aplicando as regras ao f(x)=2\,g(x)+h(x), a derivada de f é:
f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\big(2\,g(x)\big)+\frac{d}{dx}\big(h(x)\big)=2\,g^{\prime}(x)+h^{\prime}(x).

Passo 4

Agora avaliamos essa expressão no ponto x=2:
f^{\prime}(2)=2\,g^{\prime}(2)+h^{\prime}(2).

Passo 5

Substituindo os valores fornecidos ( g^{\prime}(2)=-2 e h^{\prime}(2)=4):
f^{\prime}(2)=2\cdot(-2)+4 = -4+4.

Resposta

0

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