Determine as derivadas, simplifique se for possível.
y=\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}

Passo 1

O enunciado pede: “Determine as derivadas, simplifique se for possível” para a função
y=\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}.
Informações dadas (peguei-as do próprio enunciado):
  • A função é a soma de três radicais: raiz quadrada, raiz cúbica e raiz quarta.
  • Precisa-se calcular a derivada de y em termos de x e simplificá-la se possível.
Observação inicial sobre domínio (informação útil antes de derivar): como existem \sqrt{x} e \sqrt[4]{x} (raízes de índice par), a expressão original está definida em x\ge 0. Para derivar com potências fracionárias, vamos trabalhar em x>0 (onde todas as potências fracionárias são bem comportadas).

Passo 2

Transformar radicais em potências fracionárias — isso facilita aplicar a regra de derivação padrão. As igualdades são:
\sqrt{x}=x^{1/2},\qquad \sqrt[3]{x}=x^{1/3},\qquad \sqrt[4]{x}=x^{1/4}.
Portanto podemos reescrever
y = x^{1/2}+x^{1/3}+x^{1/4}.

Passo 3

Lembrar a regra que vamos usar (a “aula rápida”): a regra da potência.
  • Regra da potência: para uma função f(x)=x^{n}, com n qualquer número real (e x>0 se n for fracionário), a derivada é
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Expliquei: o expoente n desce multiplicando e então subtrai-se 1 do expoente. Essa é a fórmula principal que usaremos em cada termo.
Também usamos a linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas:
\frac{d}{dx}\big(u+v+w\big)=\frac{du}{dx}+\frac{dv}{dx}+\frac{dw}{dx}.

Passo 4

Aplicar a regra termo a termo.
Para o primeiro termo x^{1/2}:
\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{1/2-1}=\frac{1}{2}x^{-1/2}.
Para o segundo termo x^{1/3}:
\frac{d}{dx}x^{1/3}=\frac{1}{3}x^{1/3-1}=\frac{1}{3}x^{-2/3}.
Para o terceiro termo x^{1/4}:
\frac{d}{dx}x^{1/4}=\frac{1}{4}x^{1/4-1}=\frac{1}{4}x^{-3/4}.
Somando as três derivadas (pela linearidade):
y'=\frac{1}{2}x^{-1/2}+\frac{1}{3}x^{-2/3}+\frac{1}{4}x^{-3/4}.

Passo 5

Reescrever em formas equivalentes mais familiares (usando radicais no denominador), o que costuma ser considerado “mais simples” em contextos elementares:
y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}+\frac{1}{4\sqrt[4]{x^{3}}}.
Explicação rápida: x^{-1/2}=1/x^{1/2}=1/\sqrt{x}, x^{-2/3}=1/x^{2/3}=1/\sqrt[3]{x^{2}} e x^{-3/4}=1/x^{3/4}=1/\sqrt[4]{x^{3}}.
Observação sobre o ponto x=0: a fórmula da derivada acima vale para x>0. No ponto x=0 a função original está definida, mas cada termo dá uma derivada com potência negativa em x, então as derivadas laterais são infinitas (a derivada não existe finitamente em x=0). Portanto a derivada não está definida em x=0.

Resposta

y'=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}+\dfrac{1}{3}x^{-2/3}+\dfrac{1}{4}x^{-3/4} para x>0
ou equivalentemente
y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}+\dfrac{1}{4\sqrt[4]{x^{3}}} para x>0

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