Determine as derivadas, simplifique se for possível.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine as derivadas, simplifique se for possível” para a função
Informações dadas (peguei-as do próprio enunciado):
- A função é a soma de três radicais: raiz quadrada, raiz cúbica e raiz quarta.
- Precisa-se calcular a derivada de
em termos de e simplificá-la se possível.
Observação inicial sobre domínio (informação útil antes de derivar): como existem
e
(raízes de índice par), a expressão original está definida em
. Para derivar com potências fracionárias, vamos trabalhar em
(onde todas as potências fracionárias são bem comportadas).
Passo 2
Transformar radicais em potências fracionárias — isso facilita aplicar a regra de derivação padrão. As igualdades são:
Portanto podemos reescrever
Passo 3
Lembrar a regra que vamos usar (a “aula rápida”): a regra da potência.
- Regra da potência: para uma função
, com qualquer número real (e se for fracionário), a derivada é
Expliquei: o expoente
desce multiplicando e então subtrai-se
do expoente. Essa é a fórmula principal que usaremos em cada termo.
Também usamos a linearidade da derivada: a derivada da soma é a soma das derivadas:
Passo 4
Aplicar a regra termo a termo.
Para o primeiro termo
:
Para o segundo termo
:
Para o terceiro termo
:
Somando as três derivadas (pela linearidade):
Passo 5
Reescrever em formas equivalentes mais familiares (usando radicais no denominador), o que costuma ser considerado “mais simples” em contextos elementares:
Explicação rápida:
,
e
.
Observação sobre o ponto
: a fórmula da derivada acima vale para
. No ponto
a função original está definida, mas cada termo dá uma derivada com potência negativa em
, então as derivadas laterais são infinitas (a derivada não existe finitamente em
). Portanto a derivada não está definida em
.
Resposta
ou equivalentemente