Determine as derivadas, simplifique se for possível.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função e simplificá‑la se possível. A função dada é
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A função é uma razão entre duas expressões em
. - É preciso derivar em relação a
. - Note que
(usarei essa potência para facilitar derivação). - Domínio implícito (para lembrar onde a derivada faz sentido):
exige , e o denominador não pode ser zero. Observando , as possíveis singularidades são e . Portanto a função (e sua derivada) só podem existir em com .
Passo 2
Qual método usar: como
é uma divisão de duas funções, o caminho direto é usar a regra do quociente. Vou relembrar a regra do quociente de forma clara.
Regra do quociente: se
com
, então
Aqui
e
. Vou calcular
e
usando a regra da potência.
Regra da potência: para
com
real,
.
Passo 3
Calcular
e
.
- Para
:
- Para
:
Aqui usei a regra da potência com
:
.
Passo 4
Aplicar a regra do quociente:
Agora vamos simplificar o numerador passo a passo.
Passo 5
Expandir os termos do numerador:
Primeiro termo:
Segundo termo (atenção ao sinal negativo diante de
):
Somando:
Passo 6
Agrupar termos semelhantes (sem ainda combinar com o termo que tem
):
Logo
Passo 7
Eliminar a fração dentro do numerador para obter forma mais racional: multiplico numerador e denominador da derivada por
(isso não muda a expressão, só facilita a escrita):
Se eu definir
, então
Calcular cada termo:
-
. -
. - soma com
dá:
Portanto
Passo 8
Substituir
na expressão da derivada. Lembremos que originalmente
Substituindo:
Essa é uma forma simplificada e razoavelmente compacta da derivada. Se quiser, pode também escrever usando
(às vezes facilita ver fatores), mas não é necessário.
Passo 9
Comentário final didático e incentivo: resumindo, usei a regra do quociente, calculei as derivadas das partes pelos poderes, e tratei cuidadosamente os termos com potência negativa multiplicando por
para limpar frações internas. Se te parecer muito “bagunçado”, tenta o truque de substituir
e derivar em
para manipular polinômios — depois volta para
. Vai dar mais firmeza na prova; tá indo bem, continua!