Determine as derivadas, simplifique se for possível.
y=\frac{x^{2}+1}{x-\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função e simplificá‑la se possível. A função dada é
y=\frac{x^{2}+1}{x-\sqrt{x}}.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A função é uma razão entre duas expressões em x.
  • É preciso derivar em relação a x.
  • Note que \sqrt{x}=x^{1/2} (usarei essa potência para facilitar derivação).
  • Domínio implícito (para lembrar onde a derivada faz sentido): \sqrt{x} exige x\ge 0, e o denominador x-\sqrt{x} não pode ser zero. Observando x-\sqrt{x}=x^{1/2}(x^{1/2}-1), as possíveis singularidades são x=0 e x=1. Portanto a função (e sua derivada) só podem existir em x>0 com x\neq1.

Passo 2

Qual método usar: como y é uma divisão de duas funções, o caminho direto é usar a regra do quociente. Vou relembrar a regra do quociente de forma clara.
Regra do quociente: se y=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
y'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u(x)=x^{2}+1 e v(x)=x-\sqrt{x}=x-x^{1/2}. Vou calcular u' e v' usando a regra da potência.
Regra da potência: para x^{n} com n real, (x^{n})' = n x^{n-1}.

Passo 3

Calcular u' e v'.
  • Para u(x)=x^{2}+1:
u'(x)= (x^{2})' + (1)' = 2x + 0 = 2x.
  • Para v(x)=x-x^{1/2}:
v'(x)= (x)' - (x^{1/2})' = 1 - \frac{1}{2}x^{-1/2}.
Aqui usei a regra da potência com n=\tfrac{1}{2}: (x^{1/2})'=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}.

Passo 4

Aplicar a regra do quociente:
y'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{(2x)\bigl(x-x^{1/2}\bigr)-(x^{2}+1)\Bigl(1-\tfrac{1}{2}x^{-1/2}\Bigr)}{\bigl(x-x^{1/2}\bigr)^{2}}.
Agora vamos simplificar o numerador passo a passo.

Passo 5

Expandir os termos do numerador:
Primeiro termo:
(2x)\bigl(x-x^{1/2}\bigr)=2x^{2}-2x^{3/2}.
Segundo termo (atenção ao sinal negativo diante de (x^{2}+1)):
-(x^{2}+1)\Bigl(1-\tfrac{1}{2}x^{-1/2}\Bigr)=-(x^{2}+1)+\tfrac{1}{2}(x^{2}+1)x^{-1/2}.
Somando:
\text{numerador}=2x^{2}-2x^{3/2}-(x^{2}+1)+\tfrac{1}{2}(x^{2}+1)x^{-1/2}.

Passo 6

Agrupar termos semelhantes (sem ainda combinar com o termo que tem x^{-1/2}):
\text{numerador}=(2x^{2}-x^{2})-1-2x^{3/2}+\tfrac{1}{2}(x^{2}+1)x^{-1/2}.
Logo
\text{numerador}=x^{2}-1-2x^{3/2}+\tfrac{1}{2}(x^{2}+1)x^{-1/2}.

Passo 7

Eliminar a fração dentro do numerador para obter forma mais racional: multiplico numerador e denominador da derivada por 2x^{1/2} (isso não muda a expressão, só facilita a escrita):
Se eu definir N=x^{2}-1-2x^{3/2}+\tfrac{1}{2}(x^{2}+1)x^{-1/2}, então
2x^{1/2}N=2x^{1/2}(x^{2}-1)-4x^{1/2}x^{3/2}+(x^{2}+1).
Calcular cada termo:
  • 2x^{1/2}(x^{2}-1)=2x^{5/2}-2x^{1/2}.
  • -4x^{1/2}x^{3/2}=-4x^{2}.
  • soma com (x^{2}+1) dá:
2x^{1/2}N = 2x^{5/2}-2x^{1/2}-4x^{2}+x^{2}+1 = 2x^{5/2}-3x^{2}-2x^{1/2}+1.
Portanto
N=\frac{2x^{5/2}-3x^{2}-2x^{1/2}+1}{2x^{1/2}}.

Passo 8

Substituir N na expressão da derivada. Lembremos que originalmente
y'=\frac{N}{(x-x^{1/2})^{2}}.
Substituindo:
y'=\frac{\dfrac{2x^{5/2}-3x^{2}-2x^{1/2}+1}{2x^{1/2}}}{(x-x^{1/2})^{2}} =\frac{2x^{5/2}-3x^{2}-2x^{1/2}+1}{2x^{1/2}\,(x-x^{1/2})^{2}}.
Essa é uma forma simplificada e razoavelmente compacta da derivada. Se quiser, pode também escrever usando t=\sqrt{x} (às vezes facilita ver fatores), mas não é necessário.

Passo 9

Comentário final didático e incentivo: resumindo, usei a regra do quociente, calculei as derivadas das partes pelos poderes, e tratei cuidadosamente os termos com potência negativa multiplicando por 2x^{1/2} para limpar frações internas. Se te parecer muito “bagunçado”, tenta o truque de substituir t=\sqrt{x} e derivar em t para manipular polinômios — depois volta para x. Vai dar mais firmeza na prova; tá indo bem, continua!

Resposta

y'=\frac{2x^{5/2}-3x^{2}-2x^{1/2}+1}{2x^{1/2}\,(x-x^{1/2})^{2}}

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