Considere \int:|1,+\infty| \rightarrow \mathbb{R} definida por
f(a)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}
Assim, para todo \alpha>1, a expressio
f(a)+f\left(a^{-1}\right)
vale:
(a) 1
(b) e
(c) 0
(d) e^{-1}
(e) e^{-2}

Passo 1

O enunciado define
f(a)=\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}
para a>1. Isso é exatamente a definição de derivada da função g(x)=a^x em x=0, então vamos usar a regra de derivação de exponenciais.

Passo 2

Sabemos que
\frac{d}{dx}a^x = a^x\ln(a)
Logo, avaliando em x=0, temos
f(a)=\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x} =\left.\frac{d}{dx}a^x\right|_{x=0} = a^0\ln(a) =\ln(a)

Passo 3

De modo análogo, para a^{-1} obtemos
f(a^{-1})=\ln\bigl(a^{-1}\bigr)=-\ln(a)

Passo 4

Somando as duas expressões, vem
f(a)+f(a^{-1})=\ln(a)+(-\ln(a))=0

Resposta

(c) 0

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