Considere as seguintes igualdades:
I) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sen} \pi x}{x-1}=\pi
II) \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{x^{2}+3 x+1}=0
III) \lim _{x \rightarrow+\infty} \log y x=+\infty
Com respeto às afirmativas anteriores, assinale a opçio que indica a quantidade exata de items VERDADEIROS.
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4

Passo 1

O enunciado pede para analisar três limites e contar quantos deles são verdadeiros. Em seguida, escolher a opção correspondente:
I) \displaystyle \lim_{x\to1}\frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{x-1}=\pi
II) \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^{2}+3x+1}=0
III) \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\log x=+\infty
Vamos avaliar cada um.

Passo 2

Para I) usamos a regra de l’Hôpital ou uma expansão trigonométrica. Como \operatorname{sen}(\pi x) e x-1 vão a zero quando x\to1, aplicamos l’Hôpital:
\lim_{x\to1}\frac{\operatorname{sen}(\pi x)}{x-1} =\lim_{x\to1}\frac{\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sen}(\pi x)\bigr]}{\frac{d}{dx}[x-1]} =\lim_{x\to1}\frac{\pi\cos(\pi x)}{1} =\pi\cos(\pi)=-\pi.
Portanto I) dá -\pi, não \pi. I) é falsa.

Passo 3

Para II) dividimos numerador e denominador por x:
\frac{x}{x^{2}+3x+1} =\frac{1}{x+3+\frac1x}
e, quando x\to+\infty, o denominador tende a +\infty, logo o quociente vai a 0. II) é verdadeira.

Passo 4

Para III) basta lembrar que qualquer logaritmo de base maior que 1 cresce sem limite quando o argumento vai a +\infty. Assim,
\lim_{x\to+\infty}\log x=+\infty,
logo III) é verdadeira.

Passo 5

Somando as verdadeiras temos II) e III), ou seja, 2 itens verdadeiros.

Resposta

(c) 2

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