Qual o valor de
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+2}
(a) 1
(b) e
(c) e^{2}
(d) e^{-1}
(e) e^{-2}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+2}.
Este é um limite clássico que envolve a definição do número e como
e = \lim_{t\to+\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}.

Passo 2

Para aproveitar essa definição, fatoramos a potência:
\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+2} = \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} \;\cdot\; \left(1+\frac{1}{x}\right)^{2}.

Passo 3

Pelo próprio conceito de e, temos
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} = e.

Passo 4

O segundo fator tende a
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2} =1^{2} =1.

Passo 5

Como o limite do produto é o produto dos limites (quando ambos existem e são finitos), concluímos
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+2} = e \cdot 1 = e.

Resposta

(b)

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