Questão 1. Com respeito a série
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}}
podemos dizer que:
Esta série diverge para +\infty.
Esta série converge para um número real positivo.
Esta série diverge para -\infty.
D Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
E Esta série converge para um número real negativo.
F Esta série converge para zero.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a série
\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}
O conteúdo aqui é o teste de p-séries, que nos diz quando uma série da forma
\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge ou diverge.

Passo 2

Observamos que
\frac{1}{\sqrt{n+1}}=(n+1)^{-\tfrac12}\sim n^{-\tfrac12},
ou seja, é equivalente a uma p-série com p=\tfrac12.

Passo 3

Pelo critério da p-série, \sum n^{-p} converge somente se p>1. Aqui p=\tfrac12\le1, logo a série diverge.

Passo 4

Como todos os termos são positivos, a divergência significa que a soma cresce sem limite, isto é, diverge para +\infty.

Resposta

Esta série diverge para +\infty.

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