Dada a função máxino inteiro definida por
[x]=\max \{n \in \mathbb{Z}: n \leq x\} .
analise as seguintes igualdades:
I) \lim _{x \rightarrow 0^{-}}[x]=-1
II) \lim _{x \rightarrow 2^{-}}|x|=2
III) \lim _{x \rightarrow-3^{-}}|x|=-4
IV) \lim _{x \rightarrow-1^{-}}|x|=-2
Com respeito às afirmativas anteriores, assinale a opção que indica is quantidade exata de itens FALSOS.
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 1

Passo 1

O enunciado define a função piso (máximo inteiro)
[x] = \max\{n\in\mathbb{Z}:n\le x\}
e pede para analisarmos quatro limites:
I) \displaystyle \lim_{x\to0^-}[x]=-1
II) \displaystyle \lim_{x\to2^-}|x|=2
III) \displaystyle \lim_{x\to-3^-}|x|=-4
IV) \displaystyle \lim_{x\to-1^-}|x|=-2
Note que o item I usa a função piso [x] e os itens II, III e IV usam valor absoluto |x|. Vamos avaliar cada um.

Passo 2

Analisando I) \displaystyle \lim_{x\to0^-}[x]:
Para x vindo pela esquerda de 0, temos x<0 mas x\to0, então [x] é o maior inteiro \le x. Por exemplo, em x=-0,1 vale [x]=-1. Logo
\lim_{x\to0^-}[x]=-1.
I) é verdadeira.

Passo 3

Analisando II) \displaystyle \lim_{x\to2^-}|x|:
A função |x| é contínua em todo x. Assim, aproximando-se de 2 pela esquerda, |x|\to|2|=2. Logo
\lim_{x\to2^-}|x|=2.
II) é verdadeira.

Passo 4

Analisando III) \displaystyle \lim_{x\to-3^-}|x|:
Se x\to-3^-, então x<-3 e |x|=-x. Quando x está em -3, -\infty), |x| se aproxima de |-3|=3. Portanto
\lim_{x\to-3^-}|x|=3\neq -4.
III) é falsa.

Passo 5

Analisando IV) \displaystyle \lim_{x\to-1^-}|x|:
Quando x\to-1^- x<-1, também |x|=-x. Assim |x|\to|-1|=1. Logo
\lim_{x\to-1^-}|x|=1\neq -2.
IV) é falsa.

Passo 6

Das quatro afirmações, I e II são verdadeiras e III e IV são falsas. Logo há exatamente dois itens falsos.

Resposta

(c) 2

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