Considere y como a variável independente e x como a variável dependente e use a derivação implícita para encontrar d x / d y.
y sec x=x tg y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
y sec x = x tan y
onde y é a variável independente e x depende de y. Para encontrar dxdy, vamos usar diferenciação implícita, aplicando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Derivamos o lado esquerdo ;ysec x; em relação a y. Pela regra do produto:
ddy(ysec x) = underbraceddy(y)1cdotsec x + ycdotddy(sec x)
Como x=x(y), pela regra da cadeia
ddy(sec x) = sec xtan x;dxdy
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ddy(ysec x) = sec x + y,sec x,tan x,dxdy

Passo 3

Derivamos o lado direito ;xtan y; em relação a y. Também pela regra do produto:
ddy(xtan y) = dxdycdottan y + xcdotddy(tan y)
E ddy(tan y)=sec^2 y. Assim
ddy(xtan y) = dxdy,tan y + x,sec^2 y

Passo 4

Igualamos as duas derivadas:
sec x + y,sec x,tan x,dxdy = dxdy,tan y + x,sec^2 y

Passo 5

Colocamos todos os termos com dxdy de um lado e os restantes do outro:
y,sec x,tan x,dxdy - dxdy,tan y = x,sec^2 y - sec x

Passo 6

Fatoramos dxdy:
dxdy,l(y,sec x,tan x - tan yr) = x,sec^2 y - sec x
Portanto
dxdy = x,sec^2 y - sec xy,sec x,tan x - tan y

Resposta

dxdy = x,sec^2 y - sec xy,sec x,tan x - tan y

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