Considere a integral definida
I=\int_{0}^{1} e^{x} d x
Qual aproximação para I é obtida pelo métodos dos retângulos quando o intervalo [0,1] é dividido em 6 pontos uniformemente espaçados e 5 casas decimais são utilizadas nos cálculos?
(a) I \approx 2,71828
(b) I \approx 1,55218
(c) I \approx 3,55218
(d) I \approx 1,71828
(e) Não sei.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação da integral
I = \int_{0}^{1} e^{x}\,dx
pelo método dos retângulos, usando 6 pontos uniformemente espaçados em [0,1] e mantendo 5 casas decimais em todos os cálculos. Como o método dos retângulos consiste num somatório do tipo
R = \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)\,\Delta x,
vamos usar os pontos à esquerda de cada subintervalo (retângulos à esquerda).

Passo 2

O número de subintervalos é n=6-1=5. O comprimento de cada subintervalo é
\Delta x = \frac{1-0}{5} = 0,2.
Os pontos equiespaçados são
x_i = 0 + i\cdot 0,2,\quad i=0,1,2,3,4,5,
e, para o método à esquerda, usamos x_0,x_1,x_2,x_3,x_4.

Passo 3

Calculamos f(x_i)=e^{x_i} arredondando cada valor a 5 casas decimais:
\begin{aligned} e^{x_0}&=e^0=1,00000,\\\ e^{x_1}&=e^{0,2}=1,22140,\\\ e^{x_2}&=e^{0,4}=1,49182,\\\ e^{x_3}&=e^{0,6}=1,82212,\\\ e^{x_4}&=e^{0,8}=2,22554. \end{aligned}

Passo 4

Formamos a soma
R = \sum_{i=0}^{4} e^{x_i}\,\Delta x = 0,2\bigl(1,00000 + 1,22140 + 1,49182 + 1,82212 + 2,22554\bigr).
Somando os valores entre parênteses:
1,00000 + 1,22140 + 1,49182 + 1,82212 + 2,22554 = 7,76088.
Multiplicando por 0,2:
R = 0,2 \times 7,76088 = 1,552176.
Arredondando a 5 casas decimais:
R \approx 1,55218.

Resposta

(b) I \approx 1,55218

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