Qual deve ser o valor de b para que a parábola y=x^{2}+2 b x+b^{2}-1 tenha seu vértice num ponto, do plano cartesiano, onde o valor da abscissa é o dobro do valor da ordenada?
(a) b=2
(b) b=-2
(c) b=1 / 2
(d) b=-1 / 2
(e) Não sei.

Passo 1

O enunciado dá a parábola
y = x^{2} + 2b x + b^{2} - 1
e pede o valor de b tal que o vértice tenha abscissa igual ao dobro da ordenada. Vamos usar a fórmula do vértice de uma parábola y = Ax^{2} + Bx + C:
a abscissa x_{v} = -\tfrac{B}{2A} e a ordenada y_{v} = f(x_{v}).

Passo 2

Aqui A = 1 e B = 2b. Logo
x_{v} = -\frac{2b}{2\cdot1} = -b.
Para a ordenada, calculamos
y_{v} = f(-b) = (-b)^{2} + 2b(-b) + b^{2} - 1 = b^{2} - 2b^{2} + b^{2} - 1 = -1.

Passo 3

Impondo a condição da questão x_{v} = 2\,y_{v}, temos
-b = 2\cdot(-1)\quad\Longrightarrow\quad -b = -2\quad\Longrightarrow\quad b = 2.

Resposta

(a) b = 2

Exercícios relacionados