Considere a integral dupla
\int_{0}^{4} \int_{y}^{4} e^{x^{2}} d x d y
a) Desenhe a região de integração.
b) Inverta a ordem de integração e resolva a integral.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{4}\int_{y}^{4} e^{x^{2}} \,dx\,dy
Este é um exercício sobre integrais duplas, em que vamos:
  1. Identificar a região de integração no plano xy.
  2. Inverter a ordem de integração.
  3. Calcular a integral resultante.

Passo 2

A região R dada pelos limites 0\le y\le4 e y\le x\le4 é
R = \{(x,y)\mid 0\le y\le x\le 4\}.
Geometricamente, é o triângulo com vértices em (0,0), (4,0) e (4,4), abaixo da reta x=y e à esquerda da reta x=4.

Passo 3

Para inverter a ordem, fixamos primeiro x e depois y. Vemos que x varia de 0 até 4 e, para cada x fixo, y vai de 0 até x. Logo a integral vira
\int_{0}^{4}\int_{0}^{x} e^{x^{2}} \,dy\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral interna em y, tratando e^{x^{2}} como constante:
\int_{0}^{x} e^{x^{2}} \,dy = e^{x^{2}}\bigl[y\bigr]_{0}^{x} = x\,e^{x^{2}}.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{4} x\,e^{x^{2}} \,dx.

Passo 5

Para \displaystyle\int_{0}^{4} x\,e^{x^{2}}\,dx usamos a substituição u = x^{2}, \,du = 2x\,dx, ou seja x\,dx = \tfrac12\,du. Então
\int_{0}^{4} x\,e^{x^{2}}\,dx = \tfrac12 \int_{u=0}^{u=16} e^{u}\,du = \tfrac12\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{16} = \tfrac12\bigl(e^{16}-1\bigr).

Resposta

A integral vale
\tfrac12\bigl(e^{16}-1\bigr).

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