Considere a integral dupla
a) Desenhe a região de integração.
b) Inverta a ordem de integração e resolva a integral.
b) Inverta a ordem de integração e resolva a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
Este é um exercício sobre integrais duplas, em que vamos:
- Identificar a região de integração no plano
. - Inverter a ordem de integração.
- Calcular a integral resultante.
Passo 2
A região
dada pelos limites
e
é
Geometricamente, é o triângulo com vértices em
,
e
, abaixo da reta
e à esquerda da reta
.
Passo 3
Para inverter a ordem, fixamos primeiro
e depois
. Vemos que
varia de
até
e, para cada
fixo,
vai de
até
. Logo a integral vira
Passo 4
Calculamos a integral interna em
, tratando
como constante:
Portanto a integral reduz-se a
Passo 5
Para
usamos a substituição
,
, ou seja
. Então
Resposta
A integral vale