f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
a) A função f é contínua em (0,0) ? Justifique
b) Calcule as derivadas parcias f_{x} e f_{y} em (0,0).
c) f é diferenciável em (0,0) ?
d) Calcule a derivada direcional ( D_{u} f ) no ponto ( 0,0 ) e na direção do vetor v=(1,1)
e pede:
a) continuidade em (0,0) (usar limites em duas variáveis);
b) derivadas parciais em (0,0) (pela definição);
c) verificarmos se é diferenciável em (0,0) (checar o termo de erro);
d) derivada direcional em (0,0) na direção de v=(1,1).]
Passo 2
Verificar a continuidade em (0,0). Queremos mostrar
a) Sim. \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0, logo f é contínua em (0,0).
b) \displaystyle f_x(0,0)=1, \displaystyle f_y(0,0)=0.
c) Não. O termo de erro não satisfaz o critério \tfrac{R(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\to0.
d) \displaystyle D_{u}f(0,0)=\frac1{2\sqrt2}, com u=(1,1)/\sqrt2.