Considere a seguinte função
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
a) A função f é contínua em (0,0) ? Justifique
b) Calcule as derivadas parcias f_{x} e f_{y} em (0,0).
c) f é diferenciável em (0,0) ?
d) Calcule a derivada direcional ( D_{u} f ) no ponto ( 0,0 ) e na direção do vetor v=(1,1)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede:
a) continuidade em (0,0) (usar limites em duas variáveis);
b) derivadas parciais em (0,0) (pela definição);
c) verificarmos se é diferenciável em (0,0) (checar o termo de erro);
d) derivada direcional em (0,0) na direção de v=(1,1).]

Passo 2

Verificar a continuidade em (0,0). Queremos mostrar
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0).
Para (x,y)\neq(0,0) temos
\bigl|f(x,y)\bigr| =\left|\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right| \le\frac{|x|^{3}}{x^{2}} =|x|.
Como \lim_{(x,y)\to(0,0)}|x|=0, segue que \lim f(x,y)=0. Logo f é contínua em (0,0).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais em (0,0) pela definição
f_x(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}, \quad f_y(0,0) =\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}.
Para y=0 e h\neq0,
f(h,0)=\frac{h^{3}}{h^{2}}=h,
então
f_x(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{h-0}{h}=1.
Para x=0 e k\neq0,
f(0,k)=\frac{0}{k^{2}}=0,
logo
f_y(0,0) =\lim_{k\to0}\frac{0-0}{k}=0.

Passo 4

Testar diferenciabilidade em (0,0). Se existisse diferencial linear L(h,k)=f_x(0,0)\,h+f_y(0,0)\,k=h, o erro
R(h,k) =f(h,k)-L(h,k) =\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}-x =-\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
deveria satisfazer \lim_{(h,k)\to(0,0)}\tfrac{R(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0. Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta isso vira
\frac{|R|}{r} =\frac{r^{3}| \cos\theta|\sin^{2}\theta}{r\,r^{2}} =|\cos\theta|\sin^{2}\theta,
que independe de r e nem tende a zero (por exemplo, em \theta=\pi/6 vale \tfrac{\sqrt3}{8}\neq0). Portanto f não é diferenciável em (0,0).

Passo 5

Calcular a derivada direcional em (0,0) na direção unitária
u=\frac{v}{\|v\|} =\frac{(1,1)}{\sqrt2} =\Bigl(\frac1{\sqrt2},\frac1{\sqrt2}\Bigr).
Por definição
D_{u}f(0,0) =\lim_{t\to0}\frac{f\bigl(t\,u\bigr)-f(0,0)}{t} =\lim_{t\to0}\frac{f\bigl(\tfrac t{\sqrt2},\tfrac t{\sqrt2}\bigr)}{t}.
Como
f\bigl(\tfrac t{\sqrt2},\tfrac t{\sqrt2}\bigr) =\frac{\bigl(\tfrac t{\sqrt2}\bigr)^{3}} {\bigl(\tfrac{t^{2}}{2}+\tfrac{t^{2}}{2}\bigr)} =\frac{\tfrac{t^{3}}{2\sqrt2}}{t^{2}} =\frac{t}{2\sqrt2},
vem
D_{u}f(0,0) =\lim_{t\to0}\frac{\tfrac{t}{2\sqrt2}}{t} =\frac1{2\sqrt2}.

Resposta

a) Sim. \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0, logo f é contínua em (0,0).
b) \displaystyle f_x(0,0)=1, \displaystyle f_y(0,0)=0.
c) Não. O termo de erro não satisfaz o critério \tfrac{R(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}\to0.
d) \displaystyle D_{u}f(0,0)=\frac1{2\sqrt2}, com u=(1,1)/\sqrt2.

Exercícios relacionados