Considere a integral
Escreva cinco outras integrais que sejam iguais a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral tripla definida por
O que a gente precisa fazer é encontrar cinco outras formas de escrever essa mesma integral. Para isso, vamos usar conceitos de integrais múltiplas, especialmente sobre como mudar a ordem de integração e os limites de integração. Vamos precisar entender como visualizar a região de integração no espaço para reescrever a integral de formas diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. Olha só:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de -1 a 0. - Para cada par
, varia de 0 a .
Então, estamos integrando sobre um volume onde
está entre 0 e 1,
entre -1 e 0, e
entre 0 e
.
Passo 3
Agora, para reescrever a integral, podemos mudar a ordem das integrações. Vamos começar trocando a ordem de
e
. Para isso, precisamos ajustar os limites:
-
varia de 0 a , mas queremos expressar em função de . Se , então ou . Como vai de -1 a 0, usamos . - Então, para cada
, varia de a 0.
A nova integral fica:
Passo 4
Outra maneira é trocar a ordem de
e
. Vamos ver:
-
varia de -1 a 0. - Para cada
, varia de 0 a 1. -
continua variando de 0 a .
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos agora trocar a ordem de
e
. Primeiro, fixamos
:
-
varia de 0 a . - Para cada
, varia de 0 a 1. -
varia de -1 a 0.
A integral reescrita fica:
Passo 6
Por último, vamos trocar a ordem de
,
e
para
,
,
. Observando os limites:
-
varia de 0 a . - Para cada
, varia de 0 a 1. -
varia de -1 a 0.
Assim, a integral fica:
Resposta
As cinco integrais equivalentes a
são: