Considere a integral
I=integral0^1 integral-1^0 integral0^y^2 d z d y d x
Escreva cinco outras integrais que sejam iguais a I.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral tripla definida por
I=integral0^1 integral-1^0 integral0^y^2 dz, dy, dx
O que a gente precisa fazer é encontrar cinco outras formas de escrever essa mesma integral. Para isso, vamos usar conceitos de integrais múltiplas, especialmente sobre como mudar a ordem de integração e os limites de integração. Vamos precisar entender como visualizar a região de integração no espaço para reescrever a integral de formas diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. Olha só:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de -1 a 0.
  • Para cada par , varia de 0 a .
Então, estamos integrando sobre um volume onde está entre 0 e 1, entre -1 e 0, e entre 0 e .

Passo 3

Agora, para reescrever a integral, podemos mudar a ordem das integrações. Vamos começar trocando a ordem de I = integral0^1 integral0^1 integral-raizz^0 dy, dz, dx e . Para isso, precisamos ajustar os limites:
  • varia de 0 a , mas queremos expressar em função de . Se , então ou . Como vai de -1 a 0, usamos .
  • Então, para cada , varia de a 0.
A nova integral fica:

Passo 4

Outra maneira é trocar a ordem de I = integral-1^0 integral0^1 integral0^y^2 dz, dx, dy e . Vamos ver:
  • varia de -1 a 0.
  • Para cada , varia de 0 a 1.
  • continua variando de 0 a .
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos agora trocar a ordem de I = integral0^1 integral-1^0 integral0^y^2 dx, dy, dz e . Primeiro, fixamos :
  • varia de 0 a .
  • Para cada , varia de 0 a 1.
  • varia de -1 a 0.
A integral reescrita fica:

Passo 6

Por último, vamos trocar a ordem de I = integral0^1 integral0^1 integral-1^0 dy, dx, dz , e para , , . Observando os limites:
  • varia de 0 a .
  • Para cada , varia de 0 a 1.
  • varia de -1 a 0.
Assim, a integral fica:

Resposta

As cinco integrais equivalentes a I = integral0^1 integral0^1 integral-raizz^0 dy, dz, dx são:
I = integral-1^0 integral0^1 integral0^y^2 dz, dx, dy
I = integral0^1 integral-1^0 integral0^y^2 dx, dy, dz
I = integral0^1 integral0^1 integral-1^0 dy, dx, dz
I = integral-1^0 integral0^1 integral0^y^2 dx, dz, dy

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