Seja
I=integral0^1 integralx^1 x raizy^2-x^2 d y d x
Calcule o valor de I.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A gente tem que calcular:
I = integral0^1 integralx^1 x raizy^2 - x^2 , dy , dx
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, que são usadas para calcular volumes ou áreas em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. As variáveis x e y vão de 0 a 1, mas com a condição y >= x . Isso define uma região triangular no plano xy , onde x varia de 0 a 1 e, para cada x , y varia de x a 1.

Passo 3

Agora, vamos trocar a ordem das integrais. Em vez de integrar primeiro em y e depois em x , vamos integrar primeiro em x e depois em y . Isso facilita um pouco a resolução:
I = integral0^1 integral0^y x raizy^2 - x^2 , dx , dy
Isso porque a nova região de integração tem y fixo e x varia de 0 a y .

Passo 4

Vamos focar na integral interna:
integral0^y x raizy^2 - x^2 , dx
Para resolver isso, fazemos uma substituição trigonométrica. Vamos usar x = y sin theta , o que implica que dx = y cos theta , dtheta .

Passo 5

Substituindo na integral:
integral x raizy^2 - x^2 , dx = integral y sin theta cdot y cos theta cdot y cos theta , dtheta = y^3 integral sin theta cos^2 theta , dtheta
Simplificamos para:
y^3 integral sin theta cos^2 theta , dtheta

Passo 6

Agora, resolvemos a integral de sin theta cos^2 theta em relação a theta . Fazemos a substituição u = cos theta , então du = -sin theta , dtheta . A integral fica:
- y^3 integral u^2 , du = - y^3 ( u^33 ) + C = - y^3 ( cos^3 theta3 ) + C
Voltando para x :
- y^33 cos^3 theta + C = - y^33 ( raizy^2 - x^2y )^3 + C = - (y^2 - x^2)^3/23 + C

Passo 7

Agora, avaliamos essa antiderivada de 0 a y :
[ - (y^2 - x^2)^3/23 ]0^y = - (y^2 - y^2)^3/23 + (y^2 - 0)^3/23 = 0 + y^33 = y^33

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral externa:
I = integral0^1 y^33 , dy = 13 integral0^1 y^3 , dy
A integral de y^3 é y^44 , então:
I = 13 [ y^44 ]0^1 = 13 ( 14 - 0 ) = 112

Resposta

O valor de I é 112 .

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