Seja
Calcule o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral dupla. A gente tem que calcular:
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, que são usadas para calcular volumes ou áreas em duas dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar substituição trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. As variáveis
e
vão de 0 a 1, mas com a condição
. Isso define uma região triangular no plano
, onde
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de
a 1.
Passo 3
Agora, vamos trocar a ordem das integrais. Em vez de integrar primeiro em
e depois em
, vamos integrar primeiro em
e depois em
. Isso facilita um pouco a resolução:
Isso porque a nova região de integração tem
fixo e
varia de 0 a
.
Passo 4
Vamos focar na integral interna:
Para resolver isso, fazemos uma substituição trigonométrica. Vamos usar
, o que implica que
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Simplificamos para:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral de
em relação a
. Fazemos a substituição
, então
. A integral fica:
Voltando para
:
Passo 7
Agora, avaliamos essa antiderivada de 0 a
:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na integral externa:
A integral de
é
, então:
Resposta
O valor de
é
.