Quais das matrizes e abaixo podem ser decompostas na forma ?
Decompor as que forem possíveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir quais das matrizes A , B e C podem ser decompostas na forma L U . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre decomposição LU. Para resolver, vamos precisar entender o que é essa decomposição e como aplicá-la em cada matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa decompor uma matriz na forma L U . Aqui, L é uma matriz triangular inferior (com zeros acima da diagonal principal) e U é uma matriz triangular superior (com zeros abaixo da diagonal principal). Essa decomposição é útil para resolver sistemas de equações lineares de forma mais eficiente.
Passo 3
Vamos começar verificando a matriz A :
A = 2 & 2 & 1 3 & 3 & 2 3 & 2 & 1
Para decompor A em L U , precisamos realizar a eliminação de Gauss sem trocar as linhas. Vamos tentar:
Primeira etapa: Usamos o elemento a11 = 2 como pivô.
Eliminamos o primeiro elemento abaixo do pivô:
L21 = 32, L31 = 32
Atualizamos a matriz A :
U = 2 & 2 & 1 0 & 0 & 12 0 & -1 & 12
Percebemos que na segunda linha, o elemento U22 = 0 , o que impede continuar a decomposição sem trocar as linhas. Portanto, não é possível decompor A na forma L U sem trocar as linhas.
Passo 4
Agora, vamos analisar a matriz B :
B = 3 & 2 & 1 2 & 2 & 1 3 & 3 & 2
Vamos tentar a decomposição L U :
Primeira etapa: Pivô b11 = 3 .
Eliminamos os elementos abaixo do pivô:
L21 = 23, L31 = 1
Atualizamos a matriz B :
U = 3 & 2 & 1 0 & 23 & 13 0 & 1 & 1
Segunda etapa: Pivô U22 = 23 .
Eliminamos o elemento abaixo do pivô:
L32 = 123 = 32
Atualizamos a matriz U :
U = 3 & 2 & 1 0 & 23 & 13 0 & 0 & 12
Como conseguimos completar a decomposição sem problemas, a matriz B pode ser decomposta na forma L U .
Passo 5
Por último, vamos verificar a matriz C :
C = 2 & 1 & 3 4 & 3 & 8 6 & 7 & 17
Vamos tentar decompor C :
Primeira etapa: Pivô c11 = 2 .
Eliminamos os elementos abaixo do pivô:
L21 = 42 = 2, L31 = 62 = 3
Atualizamos a matriz C :
U = 2 & 1 & 3 0 & 1 & 2 0 & 4 & 8
Segunda etapa: Pivô U22 = 1 .
Eliminamos o elemento abaixo do pivô:
L32 = 41 = 4
Atualizamos a matriz U :
U = 2 & 1 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0
Observamos que o último elemento da matriz U é zero, o que indica que a matriz C é singular e não pode ser decomposta completamente na forma L U .
Resposta
Apenas a matriz B pode ser decomposta na forma L U . A decomposição é: