Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
y' cos^2(x) + 3y = 1, y(pi/4) = 4/3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo e uma condição inicial . O que a gente precisa fazer é encontrar a solução geral dessa equação e, depois, aplicar a condição inicial para achar a solução particular. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das equações lineares: . Para isso, vamos dividir todos os termos por :
Agora, identificamos e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante , que ajuda a transformar a equação em uma forma que facilita a integração. A fórmula para o fator integrante é:
Vamos calcular:
Isso porque a integral de é .

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . Para o lado direito, fazemos a substituição , então :

Passo 6

Voltando à equação:
Agora, dividimos os dois lados por para isolar :
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor da constante .
Substituindo :
Sabemos que , então:
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução particular da equação diferencial dada com a condição inicial é:
ou, simplificando,

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