Encontre a solução geral das equações a seguir. Caso seja dada uma condição inicial, encontre também a solução particular correspondente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
e uma condição inicial
. O que a gente precisa fazer é encontrar a solução geral dessa equação e, depois, aplicar a condição inicial para achar a solução particular. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação no formato padrão das equações lineares:
. Para isso, vamos dividir todos os termos por
:
Agora, identificamos
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que ajuda a transformar a equação em uma forma que facilita a integração. A fórmula para o fator integrante é:
Vamos calcular:
Isso porque a integral de
é
.
Passo 4
Agora, multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para o lado direito, fazemos a substituição
, então
:
Passo 6
Voltando à equação:
Agora, dividimos os dois lados por
para isolar
:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor da constante
.
Substituindo
:
Sabemos que
, então:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A solução particular da equação diferencial dada com a condição inicial é:
ou, simplificando,