- Exercício: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 12 subintervalos e a Regra
de Simpson Repetida.
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização dessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o erro seja inferior a
?
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 12 subintervalos e a Regra
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização dessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o erro seja inferior a
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que nos deu.
-
Enunciado: Calcular a integral
. -
Perguntas:
(a) Calcular uma aproximação usandosubintervalos e a Regra de Simpson repetida (composta).
(b) Calcular uma estimativa para o erro gerado por essa técnica numérica.
(c) Determinar o número mínimo de subdivisões de modo que o erro seja inferior a. -
Informações relevantes dadas (e que vamos usar):
- O intervalo de integração é
. - O integrando é
. - Número de subintervalos pedido em (a) é
(observe que é múltiplo de , então a Regra composta é aplicável). - Para erro usaremos a derivada de ordem 4 de
, que para é ; portanto .
- O intervalo de integração é
Passo 2
Explico (didaticamente) a Regra
de Simpson composta e escrevo a fórmula que vamos aplicar.
- Dividimos
em subintervalos uniformes com passo
- A Regra
aplicada a um bloco de três subintervalos (quatro nós) , com passo entre nós igual a , tem a fórmula
Aqui
é o comprimento entre nós sucessivos e o bloco tem largura
.
- Para a versão composta (quando
é múltiplo de , ), somamos a contribuição de cada bloco de 3 subintervalos. A forma compacta da regra composta é
onde
e
.
- Observação prática: com
calculamos . Então o fator multiplicador será — isso simplifica as contas.
Passo 3
Calculo os pontos
e os valores
necessários (vou construir
por iteração multiplicando por
— isto é prático e numéricamente estável).
- Passo entre nós:
- Defino
. Uma expansão ou cálculo numérico fornece
- Agora os nós e os valores (cada
):
(Expliquei como obtive: peguei
e calculei
por multiplicação sucessiva; todos os números acima estão apresentados com precisão suficiente para o método pedido.)
Passo 4
Calculo a soma pedida pela fórmula composta e obtenho a aproximação numérica da integral.
-
Primeiro identifico os índices com coeficiente
(aqueles que não são múltiplos de e não são extremos) e os índices com coeficiente (os múltiplos de internos: ). -
Somando os termos com os coeficientes:
- Somando tudo dentro do colchete:
- Multiplicando pelo fator
, obtemos a aproximação:
- Observação prática: o valor exato da integral é
A aproximação acima é uma estimativa numérica feita pela Regra composta com subintervalos.]
Passo 5
Estimo o erro (parte b). Vou apresentar a fórmula de estimativa do erro para a Regra
composta e calcular o valor numérico.
-
Teoria do erro (resumo didático):
- A Regra
é exata para polinômios de grau até ; o termo de erro envolve a quarta derivada . - Para a Regra
composta, com passo e múltiplo de , uma estimativa usual do erro total em valor absoluto é
- Explicando as partes da fórmula:
-
é o comprimento do intervalo total (aqui ). -
é o tamanho de cada subintervalo (aqui ). -
é a maior magnitude da quarta derivada no intervalo; para temos e o máximo em é .
-
- A Regra
-
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
- Calculando numericamente (
):
Assim, a estimativa do erro fornecida pela fórmula clássica é, numericamente,
(Comentário amistoso: essa é a estimativa teórica superior; na prática o erro real pode ser diferente — a estimativa dá um limite garantido pela teoria usando
.)
Passo 6
Determino o número mínimo de subdivisões (parte c) para que o erro seja menor que
.
- Usamos a mesma fórmula de estimativa do erro e exigimos
Com
,
e
(porque o comprimento total é 1 e
subintervalos):
- Isolando
:
Calculo numérico:
portanto
- Tomando a raiz quarta:
-
Como
deve ser inteiro, . Além disso, para aplicar a Regra composta precisamos que seja múltiplo de . O menor múltiplo de maior ou igual a é . -
Conclusão: o número mínimo de subintervalos (múltiplo de
) exigido para garantir, pela estimativa teórica, que o erro seja menor que é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)