• Exercício: Considere a integral \int_{0}^{1} e^{x} d x
    a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 12 subintervalos e a Regra 3 / 8 de Simpson Repetida.
    b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização dessa técnica numérica.
    c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o erro seja inferior a 10^{-10} ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que nos deu.
  • Enunciado: Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{1} e^{x}\,dx.
  • Perguntas:
    (a) Calcular uma aproximação usando 12 subintervalos e a Regra 3/8 de Simpson repetida (composta).
    (b) Calcular uma estimativa para o erro gerado por essa técnica numérica.
    (c) Determinar o número mínimo de subdivisões de modo que o erro seja inferior a 10^{-10}.
  • Informações relevantes dadas (e que vamos usar):
    • O intervalo de integração é [0,1].
    • O integrando é f(x)=e^{x}.
    • Número de subintervalos pedido em (a) é n=12 (observe que 12 é múltiplo de 3, então a Regra 3/8 composta é aplicável).
    • Para erro usaremos a derivada de ordem 4 de f, que para f(x)=e^{x} é f^{(4)}(x)=e^{x}; portanto \max_{[0,1]}|f^{(4)}(x)|=e.

Passo 2

Explico (didaticamente) a Regra 3/8 de Simpson composta e escrevo a fórmula que vamos aplicar.
  • Dividimos [0,1] em n subintervalos uniformes com passo
h=\frac{b-a}{n}=\frac{1-0}{12}=\frac{1}{12}.
  • A Regra 3/8 aplicada a um bloco de três subintervalos (quatro nós) [x_{k},x_{k+3}], com passo entre nós igual a h, tem a fórmula
\int_{x_k}^{x_{k+3}} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\bigl(f(x_k)+3f(x_{k+1})+3f(x_{k+2})+f(x_{k+3})\bigr).
Aqui h é o comprimento entre nós sucessivos e o bloco tem largura 3h.
  • Para a versão composta (quando n é múltiplo de 3, n=3m), somamos a contribuição de cada bloco de 3 subintervalos. A forma compacta da regra composta é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\Biggl[f(x_0)+f(x_n) +3\sum_{\substack{i=1\\\ i\not\equiv0\\ (\mathrm{mod}\\\ 3)}}^{n-1} f(x_i) +2\sum_{j=1}^{m-1} f(x_{3j})\Biggr],
onde x_i=a+i h e m=n/3.
  • Observação prática: com h=\dfrac{1}{12} calculamos 3h/8=\dfrac{3/12}{8}=\dfrac{1}{32}. Então o fator multiplicador será 1/32 — isso simplifica as contas.

Passo 3

Calculo os pontos x_i e os valores f(x_i)=e^{x_i} necessários (vou construir f(x_i) por iteração multiplicando por e^{1/12} — isto é prático e numéricamente estável).
  • Passo entre nós:
h=\frac{1}{12}\approx 0,0833333333333333.
  • Defino r=e^{1/12}=\exp\bigl(\tfrac{1}{12}\bigr). Uma expansão ou cálculo numérico fornece
r \approx 1{,}0869030481114995.
  • Agora os nós e os valores (cada f(x_i)=e^{i/12}=r^{\,i}):
\begin{aligned} f(x_0)&=f(0)=e^{0}=1{,}0000000000000000,\\\ f(x_1)&=r \approx 1{,}0869030481114995,\\\ f(x_2}&=r^2 \approx 1{,}1813604131613807,\\\ f(x_3)&=r^3 \approx 1{,}2840254166877415,\\\ f(x_4)&\approx 1{,}3956124250860895,\\\ f(x_5)&\approx 1{,}5174271293853383,\\\ f(x_6]&\approx 1{,}6487212707001282,\\\ f(x_7)&\approx 1{,}7904515948206167,\\\ f(x_8)&\approx 1{,}9487171402000320,\\\ f(x_9]&\approx 2{,}1170000166126750,\\\ f(x_{10})&\approx 2{,}3077578084518790,\\\ f(x_{11})&\approx 2{,}5157163203773690,\\\ f(x_{12})&=f(1)=e\approx 2{,}7182818284590452. \end{aligned}
(Expliquei como obtive: peguei r=e^{1/12} e calculei r^{i} por multiplicação sucessiva; todos os números acima estão apresentados com precisão suficiente para o método pedido.)

Passo 4

Calculo a soma pedida pela fórmula composta e obtenho a aproximação numérica da integral.
  • Primeiro identifico os índices com coeficiente 3 (aqueles que não são múltiplos de 3 e não são extremos) e os índices com coeficiente 2 (os múltiplos de 3 internos: 3,6,9).
  • Somando os termos com os coeficientes:
\begin{aligned} &f(x_0)+f(x_{12})=1+e\approx 3{,}7182818284590452,\\[4pt] &3\sum_{\substack{i=1\\\ i\not\equiv0\\ (\mathrm{mod}\\\ 3)}}^{11} f(x_i) =3\bigl(f_1+f_2+f_4+f_5+f_7+f_8+f_{10}+f_{11}\bigr) \\[2pt] &\qquad\approx 3\cdot 13{,}743945879594206 \approx 41{,}231837638782618,\\[6pt] &2\sum_{j=1}^{3} f(x_{3j}) =2\bigl(f_3+f_6+f_9\bigr) \approx 2\cdot 5{,}049746704000545 \approx 10{,}099493408001090. \end{aligned}
  • Somando tudo dentro do colchete:
\text{soma\_colchete}\approx 3{,}7182818284590452 + 41{,}231837638782618 +10{,}099493408001090 \approx 55{,}049612875241753.
  • Multiplicando pelo fator \dfrac{3h}{8}=\dfrac{1}{32}, obtemos a aproximação:
\boxed{\displaystyle I_{\text{3/8 composta}} \approx \frac{1}{32}\cdot 55{,}049612875241753 \approx 1{,}7203004023506796.}
  • Observação prática: o valor exato da integral é \displaystyle \int_{0}^{1} e^{x}\,dx = e-1 \approx 1{,}7182818284590452. A aproximação acima é uma estimativa numérica feita pela Regra 3/8 composta com 12 subintervalos.]

Passo 5

Estimo o erro (parte b). Vou apresentar a fórmula de estimativa do erro para a Regra 3/8 composta e calcular o valor numérico.
  • Teoria do erro (resumo didático):
    • A Regra 3/8 é exata para polinômios de grau até 3; o termo de erro envolve a quarta derivada f^{(4)}.
    • Para a Regra 3/8 composta, com passo h=(b-a)/n e n múltiplo de 3, uma estimativa usual do erro total em valor absoluto é
    |E|\le \frac{(b-a)}{80}\,h^{4}\,\max_{[a,b]} |f^{(4)}(x)|.
    • Explicando as partes da fórmula:
      • b-a é o comprimento do intervalo total (aqui 1).
      • h é o tamanho de cada subintervalo (aqui h=\tfrac{1}{12}).
      • \max_{[a,b]}|f^{(4)}(x)| é a maior magnitude da quarta derivada no intervalo; para f(x)=e^{x} temos f^{(4)}(x)=e^{x} e o máximo em [0,1] é e.
  • Aplicando a fórmula ao nosso caso:
\begin{aligned} |E| &\le \frac{1}{80}\,h^{4}\,e = \frac{1}{80}\left(\frac{1}{12}\right)^{4} e = \frac{e}{80\cdot 12^{4}}. \end{aligned}
  • Calculando numericamente ( 12^{4}=20736):
|E| \le \frac{e}{80\cdot 20736}=\frac{e}{1{,}658{,}880}\approx 1{,}639\times 10^{-6}.
Assim, a estimativa do erro fornecida pela fórmula clássica é, numericamente,
\boxed{|E|\le 1{,}639\times 10^{-6}.}
(Comentário amistoso: essa é a estimativa teórica superior; na prática o erro real pode ser diferente — a estimativa dá um limite garantido pela teoria usando \max|f^{(4)}|.)

Passo 6

Determino o número mínimo de subdivisões (parte c) para que o erro seja menor que 10^{-10}.
  • Usamos a mesma fórmula de estimativa do erro e exigimos
\frac{(b-a)}{80} h^{4} \max_{[a,b]}|f^{(4)}(x)| < 10^{-10}.
Com b-a=1, \max f^{(4)}=e e h=\dfrac{1}{n} (porque o comprimento total é 1 e n subintervalos):
\frac{e}{80}\cdot\frac{1}{n^{4}} < 10^{-10}.
  • Isolando n:
n^{4} > \frac{e}{80\cdot 10^{-10}} = \frac{e}{8\cdot 10^{-9}} = \biggl(\frac{e}{8}\biggr)\cdot 10^{9}.
Calculo numérico:
\frac{e}{8}\approx \frac{2{,}7182818284590452}{8}\approx 0{,}33978522855738065,
portanto
n^{4} > 0{,}33978522855738065\times 10^{9} \approx 3{,}3978522855738065\times 10^{8}.
  • Tomando a raiz quarta:
n > \bigl(3{,}3978522855738065\times 10^{8}\bigr)^{1/4}\approx 135{,}786\ldots
  • Como n deve ser inteiro, n\ge 136. Além disso, para aplicar a Regra 3/8 composta precisamos que n seja múltiplo de 3. O menor múltiplo de 3 maior ou igual a 136 é 138.
  • Conclusão: o número mínimo de subintervalos (múltiplo de 3) exigido para garantir, pela estimativa teórica, que o erro seja menor que 10^{-10} é
\boxed{n_{\min}=138.}

Resposta

(a) \displaystyle 1{,}7203004023506796
(b) \displaystyle |E|\le 1{,}639\times 10^{-6}
(c) \displaystyle n_{\min}=138

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