Considere a integral
Calcule uma aproximação para a integral utilizando a Quadratura de Gauss para 2 e 3 pontos.
Calcule uma aproximação para a integral utilizando a Quadratura de Gauss para 2 e 3 pontos.
Passo 1
O enunciado dá a integral
e pede uma aproximação dessa integral usando a Quadratura de Gauss para 2 pontos e para 3 pontos.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- Os limites da integração são
e . - A função a integrar é
. - Precisa-se da aproximação usando Gauss-Legendre com
e com .
Passo 2
Mapeamento do intervalo
para
(passo obrigatório para aplicar Gauss-Legendre).
Definimos a mudança de variável padrão
Definimos a mudança de variável padrão
onde
. Aqui
e
, então
portanto
Substituindo na integral obtemos uma integral em
:
Para aplicar a quadratura de Gauss vamos aproximar
com
e depois multiplicar o resultado por
.
Explicação rápida do método (intuitiva): a regra de Gauss-Legendre com
pontos dá
onde
são os nós (abscissas) e
os pesos pré-determinados da regra para cada
. Depois multiplicamos por
devido ao jacobiano da mudança de variável.
Passo 3
Regra de Gauss-Legendre para
: nós e pesos conhecidos são
Vamos avaliar
nesses nós.
Calculemos os
com mais dígitos:
Passo 4
Avaliação de
nos nós para
.
Para
:
logo
(Usei um método de iteração de Newton simples para obter a raiz quadrada com precisão mostrada; o processo é: chutar um valor e melhorar com
.)
Para
:
logo
Aplicando a regra (lembrando que
):
Voltando ao
original (multiplicar por
):
Passo 5
Regra de Gauss-Legendre para
: nós e pesos conhecidos são
Valores numéricos:
Passo 6
Avaliação de
nos nós para
.
Para
:
Para
:
Para
:
Agora a soma pesadada:
Substituindo os valores numéricos:
Multiplicando por
para voltar ao integral original:
Passo 7
Checagem (bônus pedagógico): podemos calcular essa integral exatamente para comparar e entender o erro. Faça a substituição
, então
e
. Quando
temos
e quando
temos
. Assim
Portanto o valor exato é
. Comparando com as aproximações obtidas:
- Gauss 2 pontos deu aproximadamente
(erro ≈ ). - Gauss 3 pontos deu aproximadamente
(erro ≈ ).
Pequeno incentivo: deu para ver que a regra de Gauss com mais pontos aproxima melhor (aqui
já reduziu bastante o erro). Não se desanime — esse tipo de passo-a-passo é exatamente o que cai na prova!
Resposta
Quadratura de Gauss (2 pontos):
Quadratura de Gauss (3 pontos):
Quadratura de Gauss (3 pontos):