Considere a integral \int_{1}^{9} \sqrt{6 x-5} d x
Calcule uma aproximação para a integral utilizando a Quadratura de Gauss para 2 e 3 pontos.

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int_{1}^{9} \sqrt{6x-5}\,dx
e pede uma aproximação dessa integral usando a Quadratura de Gauss para 2 pontos e para 3 pontos.
Informações relevantes do enunciado:
  • Os limites da integração são a=1 e b=9.
  • A função a integrar é f(x)=\sqrt{6x-5}.
  • Precisa-se da aproximação usando Gauss-Legendre com n=2 e com n=3.

Passo 2

Mapeamento do intervalo [1,9] para [-1,1] (passo obrigatório para aplicar Gauss-Legendre).
Definimos a mudança de variável padrão
x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\,t,
onde t\in[-1,1]. Aqui a=1 e b=9, então
\frac{a+b}{2}=5,\qquad \frac{b-a}{2}=4,
portanto
x=5+4t,\qquad dx=4\,dt.
Substituindo na integral obtemos uma integral em [-1,1]:
\int_{1}^{9}\sqrt{6x-5}\,dx =4\int_{-1}^{1}\sqrt{6(5+4t)-5}\,dt =4\int_{-1}^{1}\sqrt{25+24t}\,dt.
Para aplicar a quadratura de Gauss vamos aproximar \displaystyle \int_{-1}^{1} g(t)\,dt com g(t)=\sqrt{25+24t} e depois multiplicar o resultado por 4.
Explicação rápida do método (intuitiva): a regra de Gauss-Legendre com n pontos dá
\int_{-1}^{1} g(t)\,dt \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\,g(t_i),
onde t_i são os nós (abscissas) e w_i os pesos pré-determinados da regra para cada n. Depois multiplicamos por 4 devido ao jacobiano da mudança de variável.

Passo 3

Regra de Gauss-Legendre para n=2: nós e pesos conhecidos são
t_{1}=-\frac{1}{\sqrt{3}},\quad t_{2}=+\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad w_{1}=w_{2}=1.
Vamos avaliar g(t)=\sqrt{25+24t} nesses nós.
Calculemos os t com mais dígitos:
t_{1}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\approx -0{,}5773502691896257, \qquad t_{2}=+\frac{1}{\sqrt{3}}\approx +0{,}5773502691896257.

Passo 4

Avaliação de g(t) nos nós para n=2.
Para t_{1}=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}:
25+24t_{1}=25+24\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=25-\frac{24}{\sqrt{3}} \approx 11{,}143593539448984,
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g(t_{1})=\sqrt{25+24t_{1}}\approx 3{,}3382023.
(Usei um método de iteração de Newton simples para obter a raiz quadrada com precisão mostrada; o processo é: chutar um valor e melhorar com x_{k+1}=x_k-\frac{x_k^2-A}{2x_k}.)
Para t_{2}=+\dfrac{1}{\sqrt{3}}:
25+24t_{2}=25+\frac{24}{\sqrt{3}}\approx 38{,}856406460551016,
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g(t_{2})=\sqrt{25+24t_{2}}\approx 6{,}2334906.
Aplicando a regra (lembrando que w_1=w_2=1):
\int_{-1}^{1} g(t)\,dt \approx g(t_1)+g(t_2)\approx 3{,}3382023+6{,}2334906=9{,}5716929.
Voltando ao x original (multiplicar por 4):
\int_{1}^{9}\sqrt{6x-5}\,dx \approx 4\cdot 9{,}5716929 \approx 38{,}2867716.

Passo 5

Regra de Gauss-Legendre para n=3: nós e pesos conhecidos são
t_{1}=-\sqrt{\frac{3}{5}},\quad t_{2}=0,\quad t_{3}=+\sqrt{\frac{3}{5}},
w_{1}=w_{3}=\frac{5}{9},\qquad w_{2}=\frac{8}{9}.
Valores numéricos:
\sqrt{\frac{3}{5}}\approx 0{,}7745966692414834.

Passo 6

Avaliação de g(t)=\sqrt{25+24t} nos nós para n=3.
Para t_{2}=0:
g(0)=\sqrt{25+24\cdot 0}=\sqrt{25}=5.
Para t_{3}=+\sqrt{3/5}\approx 0{,}7745966692414834:
25+24t_{3}\approx 25+24\cdot 0{,}7745966692414834\approx 43{,}5903200617956,
g(t_{3})=\sqrt{43{,}5903200617956}\approx 6{,}6022965.
Para t_{1}=-\sqrt{3/5}\approx -0{,}7745966692414834:
25+24t_{1}\approx 25-24\cdot 0{,}7745966692414834\approx 6{,}409679938204398,
g(t_{1})=\sqrt{6{,}409679938204398}\approx 2{,}5315415.
Agora a soma pesadada:
\int_{-1}^{1} g(t)\,dt \approx \frac{5}{9}\,g(t_{1})+\frac{8}{9}\,g(0)+\frac{5}{9}\,g(t_{3}).
Substituindo os valores numéricos:
\int_{-1}^{1} g(t)\,dt \approx \frac{5}{9}\cdot 2{,}5315415+\frac{8}{9}\cdot 5+\frac{5}{9}\cdot 6{,}6022965 \approx 9{,}518798884.
Multiplicando por 4 para voltar ao integral original:
\int_{1}^{9}\sqrt{6x-5}\,dx \approx 4\cdot 9{,}518798884 \approx 38{,}075195536.

Passo 7

Checagem (bônus pedagógico): podemos calcular essa integral exatamente para comparar e entender o erro. Faça a substituição u=6x-5, então du=6\,dx e dx=\dfrac{du}{6}. Quando x=1 temos u=1 e quando x=9 temos u=49. Assim
\int_{1}^{9}\sqrt{6x-5}\,dx=\int_{1}^{49}\sqrt{u}\,\frac{du}{6}=\frac{1}{6}\cdot\frac{2}{3}\big[u^{3/2}\big]_{1}^{49}=\frac{1}{9}\big(49^{3/2}-1^{3/2}\big)=\frac{1}{9}(343-1)=\frac{342}{9}=38.
Portanto o valor exato é 38. Comparando com as aproximações obtidas:
  • Gauss 2 pontos deu aproximadamente 38{,}286772 (erro ≈ +0{,}286772).
  • Gauss 3 pontos deu aproximadamente 38{,}075196 (erro ≈ +0{,}075196).
Pequeno incentivo: deu para ver que a regra de Gauss com mais pontos aproxima melhor (aqui n=3 já reduziu bastante o erro). Não se desanime — esse tipo de passo-a-passo é exatamente o que cai na prova!

Resposta

Quadratura de Gauss (2 pontos): 38{,}2867716
Quadratura de Gauss (3 pontos): 38{,}0751955

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