- Exemplo: Considere a integral
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 12 subintervalos e a Regra
de Simpson Repetida.
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização dessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o erro seja inferior a
?
a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 12 subintervalos e a Regra
b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização dessa técnica numérica.
c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o erro seja inferior a
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a integral
:
- (a) Calcular uma aproximação para a integral usando 12 subintervalos e a Regra
de Simpson repetida (ou composta). - (b) Calcular uma estimativa para o erro gerado por essa técnica numérica.
- (c) Determinar o número mínimo de subdivisões para que o erro seja inferior a
.
Dados claros e úteis fornecidos:
- Intervalo:
, , logo . - Número de subintervalos pedido em (a):
(que é múltiplo de 3, portanto compatível com a 3/8 composta). - Função a integrar:
.
Passo 2
Vou explicar a Regra
de Simpson (uma mini-aula passo a passo).
- A Regra
é um polinômio interpolador de grau 3 aplicado em quatro pontos igualmente espaçados com espaçamento (então ). A fórmula para um único intervalo é
- Na forma composta (repetida) com
subintervalos igualmente espaçados e múltiplo de 3, chama-se e a fórmula composta é
onde
e
.
- Observação sobre os coeficientes: pontos internos com índice múltiplo de 3 (exceto os extremos) recebem coeficiente
; todos os outros internos recebem coeficiente .
Passo 3
Preparar para o cálculo composto com
.
- Calculo do passo:
. - Nós:
, para . - Valores de
nos nós (vou mostrar em forma decimal e, onde exato, em fração):
Passo 4
Calcular as somas requeridas pela fórmula composta.
- Soma dos pontos extremos:
- Índices múltiplos de 3 (exceto extremos):
. Soma:
- Demais índices internos (índices com coeficiente 3):
. Soma:
- Montando o somatório da fórmula composta:
Substituindo valores:
Calcule passo a passo:
Somando:
Passo 5
Aplicar a fórmula composta:
Calculando o fator:
Portanto a aproximação é
Passo 6
Calcular o valor exato da integral (para comparar e avaliar erro):
Passo 7
Erro observado (diferença entre aproximação e valor exato):
Ou seja, o erro absoluto observado é aproximadamente
.
Passo 8
Agora a estimativa teórica do erro (o que normalmente a matéria pede): lei do erro para a Regra
composta.
- A fórmula de erro para uma única aplicação da Regra
em um subintervalo de largura é
para algum
no painel. Observando que
, obtém-se para a soma de todos os
painéis a estimativa (bound)
onde
(Resumo do raciocínio: cada painel contribui algo com ordem
, existem
painéis; multiplicando e simplificando chega-se ao fator
.)
Passo 9
Aplicar a estimativa do erro ao caso
.
- Calcular a quarta derivada de
. Começando:
- No intervalo
o máximo de ocorre em , logo
- Usando a fórmula do passo anterior com
, e :
Calcule:
- Portanto a estimativa teórica (limite superior garantido pelo teorema) é
Observação: este bound é conservador; o erro observado real foi muito menor (
), mas a fórmula dá garantia teórica.
Passo 10
Determinar o número mínimo de subdivisões
para que o erro teórico seja menor que
.
- Podemos usar a fórmula do bound:
Lembrando que
. Substituindo:
Mas é mais simples rearranjar a forma em termos de
:
Logo
- Como
, impõe-se
- Além disso, a 3/8 composta exige que
seja múltiplo de . O menor inteiro maior que que é múltiplo de é . - Portanto o número mínimo de subdivisões que garante o erro teórico menor que
é . (Isso dá , que é menor que .)
Resposta
(a)
(b) estimativa teórica do erro: ; erro observado:
(c)
(b) estimativa teórica do erro:
(c)