• Exemplo: Considere a integral \int_{1}^{7} \frac{1}{x^{2}} d x
    a) Calcule uma aproximação para a integral utilizando 12 subintervalos e a Regra 3 / 8 de Simpson Repetida.
    b) Calcule a estimativa para o erro gerado na utilização dessa técnica numérica.
    c) Qual é o número mínimo de subdivisões, de modo que o erro seja inferior a 10^{-3} ?

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a integral \displaystyle \int_{1}^{7} \frac{1}{x^{2}}\,dx:
  • (a) Calcular uma aproximação para a integral usando 12 subintervalos e a Regra 3/8 de Simpson repetida (ou composta).
  • (b) Calcular uma estimativa para o erro gerado por essa técnica numérica.
  • (c) Determinar o número mínimo de subdivisões para que o erro seja inferior a 10^{-3}.
Dados claros e úteis fornecidos:
  • Intervalo: a=1, b=7, logo b-a=6.
  • Número de subintervalos pedido em (a): n=12 (que é múltiplo de 3, portanto compatível com a 3/8 composta).
  • Função a integrar: f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 2

Vou explicar a Regra 3/8 de Simpson (uma mini-aula passo a passo).
  • A Regra 3/8 é um polinômio interpolador de grau 3 aplicado em quatro pontos igualmente espaçados x_0,x_1,x_2,x_3 com espaçamento h (então x_3=x_0+3h). A fórmula para um único intervalo [x_0,x_3] é
\int_{x_0}^{x_3} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\bigl[f(x_0)+3f(x_1)+3f(x_2)+f(x_3)\bigr].
  • Na forma composta (repetida) com n subintervalos igualmente espaçados e n múltiplo de 3, chama-se h=(b-a)/n e a fórmula composta é
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\Bigl[f_0+f_n+3\sum_{\substack{i=1\\\ i\not\equiv 0\\ (\mathrm{mod}\\\ 3)}}^{n-1} f_i + 2\sum_{\substack{i=3\\\ i\equiv 0\\ (\mathrm{mod}\\\ 3)}}^{n-3} f_i\Bigr],
onde f_i=f(x_i) e x_i=a+ih.
  • Observação sobre os coeficientes: pontos internos com índice múltiplo de 3 (exceto os extremos) recebem coeficiente 2; todos os outros internos recebem coeficiente 3.

Passo 3

Preparar para o cálculo composto com n=12.
  • Calculo do passo: h=\dfrac{b-a}{n}=\dfrac{6}{12}=0{,}5.
  • Nós: x_i=1+0{,}5i, para i=0,1,\dots,12.
  • Valores de f(x)=1/x^{2} nos nós (vou mostrar em forma decimal e, onde exato, em fração):
f_0=f(1)=1.
f_1=f(1{,}5)=\dfrac{1}{(3/2)^2}=\dfrac{1}{9/4}=\dfrac{4}{9}\approx 0{,}4444444444.
f_2=f(2)=\dfrac{1}{4}=0{,}25.
f_3=f(2{,}5)=\dfrac{1}{6{,}25}=0{,}16.
f_4=f(3)=\dfrac{1}{9}\approx 0{,}1111111111.
f_5=f(3{,}5)=\dfrac{1}{12{,}25}\approx 0{,}0816326531.
f_6=f(4)=\dfrac{1}{16}=0{,}0625.
f_7=f(4{,}5)=\dfrac{1}{20{,}25}\approx 0{,}0493827160.
f_8=f(5)=\dfrac{1}{25}=0{,}04.
f_9=f(5{,}5)=\dfrac{1}{30{,}25}\approx 0{,}0330578512.
f_{10}=f(6)=\dfrac{1}{36}\approx 0{,}0277777778.
f_{11}=f(6{,}5)=\dfrac{1}{42{,}25}\approx 0{,}0236686391.
f_{12}=f(7)=\dfrac{1}{49}\approx 0{,}0204081633.

Passo 4

Calcular as somas requeridas pela fórmula composta.
  • Soma dos pontos extremos:
f_0+f_{12}=1 + 0{,}0204081633 = 1{,}0204081633.
  • Índices múltiplos de 3 (exceto extremos): i=3,6,9. Soma:
S_{(i\equiv 0)} = f_3+f_6+f_9 = 0{,}16 + 0{,}0625 + 0{,}0330578512 = 0{,}2555578512.
  • Demais índices internos (índices com coeficiente 3): i=1,2,4,5,7,8,10,11. Soma:
S_{(i\not\equiv 0)} = f_1+f_2+f_4+f_5+f_7+f_8+f_{10}+f_{11}
\quad =0{,}4444444444+0{,}25+0{,}1111111111+0{,}0816326531+0{,}0493827160+0{,}04+0{,}0277777778+0{,}0236686391
\quad \approx 1{,}0280173414.
  • Montando o somatório da fórmula composta:
\text{bracket} = f_0+f_{12} + 3 S_{(i\not\equiv 0)} + 2 S_{(i\equiv 0)}.
Substituindo valores:
\text{bracket} \approx 1{,}0204081633 + 3\cdot 1{,}0280173414 + 2\cdot 0{,}2555578512.
Calcule passo a passo:
3\cdot 1{,}0280173414 \approx 3{,}0840520242,
2\cdot 0{,}2555578512 \approx 0{,}5111157024.
Somando:
\text{bracket} \approx 1{,}0204081633 + 3{,}0840520242 + 0{,}5111157024 \approx 4{,}615575890.

Passo 5

Aplicar a fórmula composta:
\int_{1}^{7} \frac{1}{x^{2}}\,dx \approx \frac{3h}{8}\cdot \text{bracket}, \quad\text{com } h=0{,}5.
Calculando o fator:
\frac{3h}{8} = \frac{3\cdot 0{,}5}{8} = 0{,}1875.
Portanto a aproximação é
I_{\text{3/8 composta},\,n=12} \approx 0{,}1875 \times 4{,}615575890 \approx 0{,}8654204794.

Passo 6

Calcular o valor exato da integral (para comparar e avaliar erro):
\int_{1}^{7} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{7} = -\frac{1}{7}+\frac{1}{1} = 1-\frac{1}{7}=\frac{6}{7}\approx 0{,}8571428571.

Passo 7

Erro observado (diferença entre aproximação e valor exato):
E_{\text{observado}} = I_{\text{aprox}} - I_{\text{exato}} \approx 0{,}8654204794 - 0{,}8571428571 \approx 0{,}0082776223.
Ou seja, o erro absoluto observado é aproximadamente 0{,}0082776223.

Passo 8

Agora a estimativa teórica do erro (o que normalmente a matéria pede): lei do erro para a Regra 3/8 composta.
  • A fórmula de erro para uma única aplicação da Regra 3/8 em um subintervalo de largura 3h é
E_{\text{panel}} = -\frac{(3h)^{5}}{6480}\,f^{(4)}(\xi),
para algum \xi no painel. Observando que \dfrac{(3h)^5}{6480} = \dfrac{3}{80}h^5, obtém-se para a soma de todos os p=n/3 painéis a estimativa (bound)
|E_{\text{composta}}| \le \frac{(b-a)}{80}\,M\,h^{4},
onde
M=\max_{x\in[a,b]}|f^{(4)}(x)|.
(Resumo do raciocínio: cada painel contribui algo com ordem h^5, existem p=(b-a)/(3h) painéis; multiplicando e simplificando chega-se ao fator (b-a)h^{4}/80.)

Passo 9

Aplicar a estimativa do erro ao caso f(x)=1/x^{2}.
  • Calcular a quarta derivada de f. Começando:
f(x)=x^{-2},\quad f'(x)=-2x^{-3},\quad f''(x)=6x^{-4},\quad f^{(3)}(x)=-24x^{-5},\quad f^{(4)}(x)=120x^{-6}.
  • No intervalo [1,7] o máximo de |f^{(4)}(x)| ocorre em x=1, logo
M=\max_{[1,7]}|f^{(4)}(x)|=120.
  • Usando a fórmula do passo anterior com b-a=6, h=0{,}5 e M=120:
|E| \le \frac{(b-a) M h^{4}}{80} = \frac{6\cdot 120\cdot (0{,}5)^{4}}{80}.
Calcule:
(0{,}5)^{4}= \frac{1}{16}=0{,}0625,
6\cdot 120 \cdot 0{,}0625 = 6\cdot 7{,}5 = 45,
|E| \le \frac{45}{80} = 0{,}5625.
  • Portanto a estimativa teórica (limite superior garantido pelo teorema) é
|E|\le 0{,}5625.
Observação: este bound é conservador; o erro observado real foi muito menor ( \approx 0{,}0082776), mas a fórmula dá garantia teórica.

Passo 10

Determinar o número mínimo de subdivisões n para que o erro teórico seja menor que 10^{-3}.
  • Podemos usar a fórmula do bound:
\frac{(b-a) M h^{4}}{80} < 10^{-3}.
Lembrando que h=(b-a)/n=6/n. Substituindo:
\frac{6\cdot 120\cdot (6/n)^{4}}{80} < 10^{-3}.
Mas é mais simples rearranjar a forma em termos de h:
h^{4} < \frac{80\cdot 10^{-3}}{(b-a)M} = \frac{0{,}08}{6\cdot 120} = \frac{0{,}08}{720} = 1{,}1111111\times 10^{-4}.
Logo
h < \bigl(1{,}1111111\times 10^{-4}\bigr)^{1/4} \approx 0{,}1026686.
  • Como h=(b-a)/n=6/n, impõe-se
n > \frac{6}{0{,}1026686}\approx 58{,}45.
  • Além disso, a 3/8 composta exige que n seja múltiplo de 3. O menor inteiro maior que 58{,}45 que é múltiplo de 3 é 60.
  • Portanto o número mínimo de subdivisões que garante o erro teórico menor que 10^{-3} é n_{\min}=60. (Isso dá h=6/60=0{,}1, que é menor que 0{,}1026686.)

Resposta

(a) I_{\text{3/8 composta},\,n=12}\approx 0{,}8654204794
(b) estimativa teórica do erro: |E|\le 0{,}5625; erro observado: |E|\approx 0{,}0082776223
(c) n_{\min}=60

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