Considere a integral
Quantos pontos seriam necessários para que a regra dos trapézios obtivesse a precisão menor que .
Passo 1
Beleza, então o que a questão tá pedindo? A gente tem a integral
e quer saber quantos pontos (ou seja, quantos subintervalos/pontos de amostra) são necessários pra usar a regra dos trapézios e garantir erro menor que .
Conteúdo envolvido: regra composta dos trapézios e seu estimador de erro, que exige a segunda derivada da função. Vamos precisar:
identificar a função ,
calcular e achar um tal que ,
usar a fórmula do erro do trapézio composto
e achar .
Passo 2
Primeiro, a gente calcula as derivadas de :
Agora a segunda derivada:
Passo 3
Precisamos de um limite máximo pra em . Como e e , temos
Então podemos tomar .
Passo 4
A fórmula do erro da regra dos trapézios composta em |ET| <= (1-0)^312,n^2;M = 112,n^2;6 = 612,n^2 = 12,n^2 com subintervalos é
Queremos .
Passo 5
Resolvendo para 12,n^2<10^-3 Longrightarrow n^2 > 12times10^-3 = 500 Longrightarrow n > raiz500approx22,36 :
Como tem que ser inteiro, escolhemos subintervalos.
Resposta
Precisamos de 23 subintervalos, ou seja, 24 pontos, para garantir erro menor que .