Considere a integral I=integral0^1 cos (-x^2) d x
Quantos pontos seriam necessários para que a regra dos trapézios obtivesse a precisão menor que 10^-3.

Passo 1

Beleza, então o que a questão tá pedindo? A gente tem a integral
I=integral0^1cosl(-x^2r),dx
e quer saber quantos pontos (ou seja, quantos subintervalos/pontos de amostra) são necessários pra usar a regra dos trapézios e garantir erro menor que |ET|<= (b-a)^312,n^2,M .
Conteúdo envolvido: regra composta dos trapézios e seu estimador de erro, que exige a segunda derivada da função. Vamos precisar:
  1. identificar a função ,
  2. calcular e achar um tal que ,
  3. usar a fórmula do erro do trapézio composto
e achar .

Passo 2

Primeiro, a gente calcula as derivadas de f'(x) = -sin(x^2)cdot 2x = -2x,sin(x^2) :
f''(x) = ddxl(-2xsin(x^2)r) = -2sin(x^2) -2xcdotl(2xcos(x^2)r) = -2sin(x^2) -4x^2cos(x^2)
Agora a segunda derivada:

Passo 3

Precisamos de um limite máximo pra |f''(x)| <= 2cdot1 + 4x^2cdot1 <= 2 + 4cdot1 = 6 em . Como e e , temos
Então podemos tomar .

Passo 4

A fórmula do erro da regra dos trapézios composta em |ET| <= (1-0)^312,n^2;M = 112,n^2;6 = 612,n^2 = 12,n^2 com subintervalos é
Queremos .

Passo 5

Resolvendo para 12,n^2<10^-3 Longrightarrow n^2 > 12times10^-3 = 500 Longrightarrow n > raiz500approx22,36 :
Como tem que ser inteiro, escolhemos subintervalos.

Resposta

Precisamos de 23 subintervalos, ou seja, 24 pontos, para garantir erro menor que .

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