Considere a integral
Estime I pela regra de regra dos trapézios com erro menor que
,
Estime I pela regra de regra dos trapézios com erro menor que
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente estimar a integral
usando a regra dos trapézios de modo que o erro seja menor que
.
Conteúdo: integração numérica (regra dos trapézios) e estimativa de erro via derivada segunda.
O que vamos precisar:
Conteúdo: integração numérica (regra dos trapézios) e estimativa de erro via derivada segunda.
O que vamos precisar:
- A fórmula do erro da regra dos trapézios
- O cálculo de
e um limite para - Determinar o número de subintervalos
que garante erro < - Calcular de fato a soma dos trapézios com esse
.
Passo 2
Primeiro, note que
(coseno é função par). Definimos
Regra dos trapézios para
intervalos iguais em
dá erro satisfazendo
Aqui
,
, então o fator
vira
.
Agora vamos achar
:
Logo
Então podemos escolher
como cota para
.
Passo 3
Colocando na fórmula de erro:
Queremos
.
Isso dá
Isso dá
Ou seja, basta escolher
(próximo inteiro) para garantir erro <
.
Passo 4
Agora aplicamos a regra dos trapézios com
.
Passo a passo:
Passo a passo:
-
- Nós calculamos
, , e .
Vamos aos valores aproximados:
,
,
e paraaté : - A soma da regra dos trapézios é
Calculando:
Logo
Resposta
A estimativa de
pela regra dos trapézios com erro é aproximadamente
pela regra dos trapézios com erro