Considere a integral I=integral0^1 cos (-x^2) d x
Estime I pela regra de regra dos trapézios com erro menor que 10^-2,

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente estimar a integral
I=integral0^1cosl(-x^2r),dx
usando a regra dos trapézios de modo que o erro seja menor que .
Conteúdo: integração numérica (regra dos trapézios) e estimativa de erro via derivada segunda.
O que vamos precisar:
  1. A fórmula do erro da regra dos trapézios
  2. O cálculo de e um limite para
  3. Determinar o número de subintervalos que garante erro <
  4. Calcular de fato a soma dos trapézios com esse .

Passo 2

Primeiro, note que f(x)=cos(x^2) (coseno é função par). Definimos
|ET|<=(b-a)^312,n^2,maxxin[0,1]|f''(x)|
Regra dos trapézios para f''(x)=ddxl(-2xsin(x^2)r) =-2sin(x^2)-2xcdotl(2xcos(x^2)r) =-2sin(x^2)-4x^2cos(x^2) intervalos iguais em |f''(x)|<= 2|sin(x^2)|+4x^2|cos(x^2)|<= 2cdot1+4cdot1cdot1=6 dá erro satisfazendo
Aqui , , então o fator vira .
Agora vamos achar :
Logo
Então podemos escolher como cota para .

Passo 3

Colocando na fórmula de erro:
|ET|<=112n^2,M =612,n^2=12,n^2
Queremos 2n^2>100Longrightarrow n^2>50Longrightarrow n>raiz50approx7,07 .
Isso dá
Ou seja, basta escolher (próximo inteiro) para garantir erro < .

Passo 4

Agora aplicamos a regra dos trapézios com &f(0,125)=cos(0,015625)approx0,99988, &f(0,25)=cos(0,0625)approx0,99805, &f(0,375)=cos(0,140625)approx0,99011, &f(0,5)=cos(0,25)approx0,96891, &f(0,625)=cos(0,390625)approx0,92110, &f(0,75)=cos(0,5625)approx0,84656, &f(0,875)=cos(0,765625)approx0,72210 .
Passo a passo:
  • T8 =hgl[f(0)+f(1)2+sumk=1^7f(xk)gr]
  • Nós calculamos f(0)+f(1)2=1+0,54032=0,77015, , sumk=1^7f(xk)approx0,99988+0,99805+0,99011+0,96891+0,92110+0,84656+0,72210approx6,4467 , e T8=0,125l[0,77015+6,4467r] =0,125cdot7,21685approx0,90211 .
    Vamos aos valores aproximados:
    ,
    ,
    e para até :
  • A soma da regra dos trapézios é
Calculando:
Logo

Resposta

A estimativa de
boxed0,9021
pela regra dos trapézios com erro é aproximadamente

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