Considere a integral integral0^1 integralx^1 x y d y d x. Expresse a integral com a ordem de integração trocada.

Passo 1

Então, a gente tem a integral dupla . O que precisamos fazer é mudar a ordem de integração, ou seja, trocar o e o . Para isso, vamos precisar entender bem a região onde estamos integrando e como ela fica quando a gente troca a ordem dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano . O varia de 0 a 1, e para cada valor de , o vai de até 1. Se desenharmos isso, vemos que forma um triângulo com os vértices em , e .

Passo 3

Agora, para trocar a ordem da integração, queremos expressar em função de . Observando o triângulo, para cada valor de entre 0 e 1, o varia de 0 até . Isso porque, para um dado , o menor valor de é 0 e o maior é .

Passo 4

Com isso, a integral com a ordem de integração trocada fica assim:
integral0^1 integral0^y x y , dx , dy
Ou seja, agora integramos primeiro em relação a de 0 até e depois em relação a de 0 até 1.

Resposta

A integral com a ordem de integração trocada é .

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