Considere a integral
. Expresse a integral com a ordem de integração trocada.
Passo 1
Então, a gente tem a integral dupla
. O que precisamos fazer é mudar a ordem de integração, ou seja, trocar o
e o
. Para isso, vamos precisar entender bem a região onde estamos integrando e como ela fica quando a gente troca a ordem dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano
. O
varia de 0 a 1, e para cada valor de
, o
vai de
até 1. Se desenharmos isso, vemos que forma um triângulo com os vértices em
,
e
.
Passo 3
Agora, para trocar a ordem da integração, queremos expressar
em função de
. Observando o triângulo, para cada valor de
entre 0 e 1, o
varia de 0 até
. Isso porque, para um dado
, o menor valor de
é 0 e o maior é
.
Passo 4
Com isso, a integral com a ordem de integração trocada fica assim:
Ou seja, agora integramos primeiro em relação a
de 0 até
e depois em relação a
de 0 até 1.
Resposta
A integral com a ordem de integração trocada é
.