Determine o volume do sólido em contido na região e limitado pelos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Aqui, a gente precisa calcular o volume de um sólido no espaço tridimensional (). Esse sólido está dentro da região definida pela inequação e é limitado pelos planos , , e . Vamos usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, pra achar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar os limites desse sólido. A inequação descreve uma região no plano xy. Além disso, o sólido é limitado pelos planos coordenados (que formam os eixos x, y e z) e pelo plano inclinado . Nosso objetivo é montar uma integral tripla que englobe todo esse volume.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para as variáveis , e . A partir de , podemos isolar :
Do plano inclinado , isolando , temos:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites para cada variável:
Para : Quando , a inequação dá . Então, varia de a .
Para : Para um valor fixo de , varia de até .
Para : Para valores fixos de e , varia de até .
Passo 5
Com esses limites, podemos montar a integral tripla para o volume :
Passo 6
Vamos resolver a integral começando por . Integrando em relação a :