Determine o volume do sólido em R^3 contido na região 3 x + 2 y <= 6 e limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x + 2y + z = 6.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. Aqui, a gente precisa calcular o volume de um sólido no espaço tridimensional ( R^3). Esse sólido está dentro da região definida pela inequação e é limitado pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e . Vamos usar cálculo multivariável, especificamente integrais triplas, pra achar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar os limites desse sólido. A inequação descreve uma região no plano xy. Além disso, o sólido é limitado pelos planos coordenados (que formam os eixos x, y e z) e pelo plano inclinado . Nosso objetivo é montar uma integral tripla que englobe todo esse volume.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para as variáveis x, y e z. A partir de , podemos isolar y:
Do plano inclinado , isolando z, temos:

Passo 4

Agora, vamos definir os limites para cada variável:
  • Para x: Quando , a inequação x <= 2. Então, x varia de 0 a .
  • Para y: Para um valor fixo de x, y varia de 0 até .
  • Para z: Para valores fixos de x e y, z varia de 0 até .

Passo 5

Com esses limites, podemos montar a integral tripla para o volume V:

Passo 6

Vamos resolver a integral começando por z. Integrando em relação a z:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar agora em relação a y:
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Fatorando :
Então, a integral agora é:

Passo 9

Vamos expandir o produto :
Assim, a integral se torna:

Passo 10

Vamos integrar cada termo em relação a x:
Somando os resultados:
Então,

Resposta

O volume do sólido é igual a unidades cúbicas.

Exercícios relacionados