Considere a integral integral0^1 integralx^1 x y d y d x. Esboce a região de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral0^1 integralx^1 x y , dy , dx. O que a gente precisa aqui é esboçar a região de integração. Isso envolve entender onde as variáveis e estão variando no plano.

Passo 2

Primeiro, olha só os limites de . A integral externa vai de até . Isso significa que o está variando nesse intervalo no eixo horizontal.

Passo 3

Agora, para cada valor de , o varia de até . Ou seja, para um dado , o começa no próprio e vai até 1, que é uma constante.

Passo 4

Vamos desenhar isso no plano . Temos:
  • A vertical (eixo ).
  • A horizontal .
  • A linha , que é uma diagonal passando pela origem.
A região de integração fica entre essas linhas: começa na origem, sobe até no eixo , e para cada , o vai de até . Isso forma um triângulo retângulo.

Resposta

A região de integração é o triângulo no plano delimitado pelas linhas , e , onde e .

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