Considere a integral
. Esboce a região de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
. O que a gente precisa aqui é esboçar a região de integração. Isso envolve entender onde as variáveis
e
estão variando no plano.
Passo 2
Primeiro, olha só os limites de
. A integral externa vai de
até
. Isso significa que o
está variando nesse intervalo no eixo horizontal.
Passo 3
Agora, para cada valor de
, o
varia de
até
. Ou seja, para um dado
, o
começa no próprio
e vai até 1, que é uma constante.
Passo 4
Vamos desenhar isso no plano
. Temos:
- A vertical
(eixo ). - A horizontal
. - A linha
, que é uma diagonal passando pela origem.
A região de integração fica entre essas linhas: começa na origem, sobe até
no eixo
, e para cada
, o
vai de
até
. Isso forma um triângulo retângulo.
Resposta
A região de integração é o triângulo no plano
delimitado pelas linhas
,
e
, onde
e
.