Obtenha a solução geral das equações que se seguem.
sugestão:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial:
. Esse tipo de problema pertence à matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). Para resolver, vamos usar uma substituição inteligente que facilita a resolução. Vamos precisar lembrar como resolver equações separáveis e usar integrais básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. A dica sugere definir
. Isso vai ajudar a tornar a equação mais fácil de lidar.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Se
, então:
Aqui,
é o
da nossa equação original.
Passo 4
Substituímos
na equação original usando a expressão que encontramos:
Então, a equação original
vira:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis
e
em lados diferentes da equação.
Passo 6
Vamos reescrever a equação para separar as variáveis:
Aqui, colocamos tudo que tem
na esquerda e
na direita.
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
em relação a
é conhecida:
E a integral de
é:
Então, juntando tudo:
Passo 8
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 3:
Onde
é apenas uma nova constante.
Passo 9
Aplicamos a função tangente nos dois lados para se livrar do arco-tangente:
Multiplicando ambos os lados por 3:
Passo 10
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos voltar para
:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A solução geral da equação é: