Obtenha a solução geral das equações que se seguem.
y' = (y + 9 x)^2 sugestão: y + 9 x = v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial: . Esse tipo de problema pertence à matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). Para resolver, vamos usar uma substituição inteligente que facilita a resolução. Vamos precisar lembrar como resolver equações separáveis e usar integrais básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. A dica sugere definir . Isso vai ajudar a tornar a equação mais fácil de lidar.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Se , então:
Aqui, é o da nossa equação original.

Passo 4

Substituímos na equação original usando a expressão que encontramos:
Então, a equação original vira:

Passo 5

Agora, vamos isolar :
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis e em lados diferentes da equação.

Passo 6

Vamos reescrever a equação para separar as variáveis:
Aqui, colocamos tudo que tem na esquerda e na direita.

Passo 7

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de em relação a é conhecida:
E a integral de é:
Então, juntando tudo:

Passo 8

Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 3:
Onde é apenas uma nova constante.

Passo 9

Aplicamos a função tangente nos dois lados para se livrar do arco-tangente:
Multiplicando ambos os lados por 3:

Passo 10

Lembrando que fizemos a substituição , vamos voltar para :
Finalmente, isolamos :

Resposta

A solução geral da equação é:

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