Considere a integral integral0^1 e^-x d x.
Estime o valor da integral utilizando a Quadratura Gaussiana com dois pontos.

Passo 1

Beleza, temos que estimar a integral
integral0^1 e^-x,dx
usando Quadratura Gaussiana de 2 pontos.
Conteúdo: integração numérica (Quadratura de Gauss).
O que vamos precisar:
  1. Saber que a quadratura de Gauss com 2 pontos aproxime
    .
  2. Fazer mudança de variável de para .

Passo 2

Primeiro, a mudança de variável:
Se x = 1-02,t + 1+02 = t2 + 12, , definimos
integral0^1 e^-x,dx = integral-1^1 e^-l( t2+12r) ,dt2 = 12integral-1^1 f(t),dt,
então .
Logo
onde .

Passo 3

Agora aplicamos a quadratura de Gauss de 2 pontos:
integral-1^1 f(t),dt approx fl(t1r)+fl(t2r),
com integral0^1 e^-x,dx approx 12l[fl(-tfrac1raiz3r) +fl(tfrac1raiz3r)r] e .
Então nossa integral vira

Passo 4

Calcular x1 = t12+12 = 12 - 12raiz3, x2 = 12 + 12raiz3 e x1approx0,5-0,288675=0,211325, x2approx0,5+0,288675=0,788675 :
f(t1)=e^-x1approx e^-0,211325approx0,809, f(t2)=e^-x2approx e^-0,788675approx0,454
Numericamente, , então

Passo 5

Juntando tudo:
integral0^1 e^-x,dx approx 12l(0,809 + 0,454r) = 12cdot1,263 = 0,6315

Resposta

boxed0,6315 (aproximadamente)

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