Determine a maior raiz real de f(x)=2 x^3-11,7 x^2+17 x-5
Pelo método do ponto fixo (chute=3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a maior raiz real da função usando o método do ponto fixo, começando com um chute inicial de . Vamos usar conceitos de álgebra e métodos numéricos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos transformar a equação 2x^3 - 11,7x^2 + 17x - 5 = 0 Rightarrow 2x^3 = 11,7x^2 - 17x + 5 em uma forma de ponto fixo, ou seja, x^3 = 11,72x^2 - 172x + 52 . Uma forma simples de fazer isso é isolar o termo de maior grau. Vamos rearranjar a função:
g(x) = ( 11,72x^2 - 172x + 52 )^1/3
Dividindo ambos os lados por 2:
Então, podemos definir como:

Passo 3

Agora que temos x1 = g(x0) = ( 11,72(3)^2 - 172(3) + 52 )^1/3 , vamos aplicar o método do ponto fixo. Esse método basicamente usa a iteração 11,72 times 9 = 52,65 para aproximar a raiz.
Começamos com o chute inicial 172 times 3 = 25,5 .
Vamos calcular 52,65 - 25,5 + 2,5 = 29,65 :
x1 = (29,65)^1/3 approx 3,07
Calculando dentro dos parênteses:
Então:

Passo 4

Vamos repetir o processo para encontrar x2 = g(x1) = ( 11,72(3,07)^2 - 172(3,07) + 52 )^1/3 :
11,72 times 9,4249 approx 55,202
Calculando:
172 times 3,07 approx 26,095
55,202 - 26,095 + 2,5 approx 31,607
x2 = (31,607)^1/3 approx 3,17
Então:

Passo 5

Vamos fazer mais uma iteração para melhorar a precisão:
x3 = g(x2) = ( 11,72(3,17)^2 - 172(3,17) + 52 )^1/3
Calculando:
11,72 times 10,0489 approx 58,280
172 times 3,17 approx 26,945
58,280 - 26,945 + 2,5 approx 33,835
Então:
x3 = (33,835)^1/3 approx 3,21

Resposta

Após algumas iterações, a maior raiz real da função pelo método do ponto fixo é aproximadamente .

Exercícios relacionados