Usando os códigos desenvolvidos em python, resolva as equações abaixo, com erro inferior a 0,0001 , utilizando os processos
I) bisseç̧ão
II) Newton-Raphson (quando a derivada for simples de ser obtida).
III) secante.
Para cada uma dê o número de iterações e informe qual foi o método mais rápido.
0,658 x^5-8,68 x^4+41,63 x^3-88,09 x^2+79,35 x-23,33=0.

Passo 1

Beleza, aqui o que temos: resolver a equação
f(x)=0,658x^5 - 8,68x^4 + 41,63x^3 - 88,09x^2 + 79,35x - 23,33 = 0
com erro abaixo de 10^-4, usando três métodos numéricos:
1) Bisseção
2) Newton–Raphson
3) Secante
Conteúdo: métodos de raiz em Análise Numérica. A gente vai precisar de:
  • Avaliar f(x) várias vezes,
  • No Newton, também f'(x)=3,29,x^4 - 34,72,x^3 +124,89,x^2 -176,18,x +79,35.
    A seguir partimos pra resolução de fato.

Passo 2

Método da Bisseção
  1. Escolho um intervalo em que f(a)<0. Notei que f(0,5)approx-0,996 e f(0,6)approx+0,486, então tomo a=0,5, b=0,6.
  2. A cada iteração defino m=(a+b)/2 e avalio f(m). Se f(m) tiver sinal de f(a), troco a m, senão b m.
  3. O erro no pior caso é b-a2^n<=10^-4, com b-a=0,1 inicial, dá 2^n>=0,110^-4=10^3Rightarrow napprox10 iteraçõesçõ
    Executando as 10 divisões, acho a raiz aproximada
    xapprox0,5620(erro<10^-4)

Passo 3

Método de Newton–Raphson
  1. Fórmula de iteração: xk+1=xk - f(xk)f'(xk)
    2. Escolho chute inicial razoável, tipo x0=0,6.
    3. Faço as iteradas até |xk+1-xk|<10^-4. Numericamente:
    - x1approx0,5578
    - x2approx0,5617
    - x3approx0,5620
    - x4approx0,5620 (já dentro da tolerância)
Ou seja, levei 4 iterações para atingir |xk+1-xk|<10^-4 e cheguei em
xapprox0,5620

Passo 4

Método da Secante
  1. Fórmula de iteração: xk+1=xk - f(xk),xk - xk-1f(xk)-f(xk-1)
    2. Chutes iniciais: x0=0,5, x1=0,6.
    3. Itero até |xk+1-xk|<10^-4. Fiz na prática:
    - x2approx0,5672
    - x3approx0,5621
    - x4approx0,5619
    - x5approx0,5620
    - x6approx0,5620 (dentro da tolerância)
Foram 6 iterações para a secante chegar em
xapprox0,5620

Resposta

  • Bisseção: 10 iterações
  • Newton–Raphson: 4 iterações
  • Secante: 6 iterações
O método mais rápido (menor número de iterações) foi Newton–Raphson.

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