Lista de exercícios de Cálculo III - Integrais de linha
3. Seja C a semicircunferência x^{2}+y^{2}=a^{2}, y \geq 0 e a>0.
a. Parametrize C.
b. Calcule \int_{C}\left(x^{2}-y^{2}\right) d s.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização da semicircunferência
x^{2}+y^{2}=a^{2},\quad y\ge0,
e depois o cálculo da integral de linha
\int_{C}\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\,ds.
O conteúdo envolve parametrização em coordenadas polares e uso de ds=\sqrt{\bigl(dx/dt\bigr)^{2}+\bigl(dy/dt\bigr)^{2}}\,dt.

Passo 2

Para parametrizar a semicircunferência superior usamos o ângulo \;t\in[0,\pi]:
x(t)=a\cos t,\quad y(t)=a\sin t,\quad 0\le t\le\pi.

Passo 3

Calculamos
\frac{dx}{dt}=-a\sin t,\quad \frac{dy}{dt}=a\cos t
e então
ds=\sqrt{(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}}\;dt =\sqrt{a^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)}\;dt =a\,dt.

Passo 4

Na parametrização, o integrando fica
x^{2}-y^{2} =a^{2}\cos^{2}t - a^{2}\sin^{2}t =a^{2}\cos(2t),
portanto
\int_{C}(x^{2}-y^{2})\,ds =\int_{0}^{\pi}a^{2}\cos(2t)\;\bigl(a\,dt\bigr) =a^{3}\int_{0}^{\pi}\cos(2t)\,dt.

Passo 5

Calculamos a integral em t:
\int_{0}^{\pi}\cos(2t)\,dt =\frac{1}{2}\sin(2t)\Big|_{0}^{\pi} =\frac{1}{2}\bigl(\sin(2\pi)-\sin0\bigr) =0,
logo o valor da integral de linha é zero.

Resposta

A parametrização é
x(t)=a\cos t,\quad y(t)=a\sin t,\quad t\in[0,\pi],
e
\int_{C}(x^{2}-y^{2})\,ds=0.

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