Determinar o volume interno ao cilindro x^2+y^2=9,0 <= z <= 9 e externo ao cone x^2+y^2=19 z^2, z >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. A gente precisa achar o volume que está dentro de um cilindro dado por x^2+y^2=9 e entre as alturas 0 <= z <= 9, mas que também está fora de um cone definido por x^2+y^2=19 z^2 com z >= 0. Para resolver isso, vamos usar cálculo de volumes usando coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando lidamos com cilindros e cones.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações. O cilindro x^2+y^2=9 tem raio 3 e se estende de z=0 até z=9. O cone x^2+y^2=19 z^2 tem uma abertura que também alcança até z=9. A ideia é calcular o volume do cilindro e subtrair o volume do cone que está dentro do cilindro.

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde x = rcostheta, y = rsintheta, e z = z. Nessas coordenadas, o cilindro fica simplesmente r = 3 e o cone fica r = 13z.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. Para theta, ele vai de 0 a 2pi para cobrir toda a volta. Para z, vai de 0 a 9. E para r, dentro do cilindro mas fora do cone, então de 13z até 3.

Passo 5

O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r,dr,dtheta,dz. Então, a integral para o volume que queremos é:
V = integral0^2pi integral0^9 integral13z^3 r,dr,dz,dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a r:
integral13z^3 r,dr = [ 12r^2 ]13z^3 = 12(9 - z^29) = 92 - z^218

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a z:
integral0^9 ( 92 - z^218 ) dz = 92z - z^354 gr|0^9 = 92(9) - 9^354 = 812 - 72954 = 812 - 272 = 542 = 27

Passo 8

Por fim, integramos em relação a theta:
V = integral0^2pi 27,dtheta = 27 times 2pi = 54pi

Resposta

O volume interno ao cilindro e externo ao cone é 54pi unidades cúbicas.

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