Determinar o volume interno ao cilindro e externo ao cone .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. A gente precisa achar o volume que está dentro de um cilindro dado por e entre as alturas , mas que também está fora de um cone definido por com . Para resolver isso, vamos usar cálculo de volumes usando coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante quando lidamos com cilindros e cones.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações. O cilindro tem raio 3 e se estende de até . O cone tem uma abertura que também alcança até . A ideia é calcular o volume do cilindro e subtrair o volume do cone que está dentro do cilindro.
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde , , e . Nessas coordenadas, o cilindro fica simplesmente e o cone fica .
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. Para , ele vai de a para cobrir toda a volta. Para , vai de a . E para , dentro do cilindro mas fora do cone, então de até .
Passo 5
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é . Então, a integral para o volume que queremos é:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a :
Passo 8
Por fim, integramos em relação a theta:
V = integral0^2pi 27,dtheta = 27 times 2pi = 54pi
Resposta
O volume interno ao cilindro e externo ao cone é 54pi unidades cúbicas.