Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
(a) x=y^2+4 z^4

Passo 1

O enunciado pede para usar cortes (seções) para esboçar e identificar a superfície dada por
x = y^2 + 4,z^4
O que vamos precisar é fazer três tipos de cortes:
  1. Fixar z=k e ver a curva no plano xy.
  2. Fixar y=k e ver a curva no plano xz.
  3. Fixar x=c e ver a curva no plano yz.
    Com isso entendemos a forma 3D e “batizamos” a superfície.

Passo 2

Corte com z=k.
Se z=k a equação vira
x = y^2 + 4,k^4,
que é uma parábola no plano xy com vértice em l(4,k^4,0r) abrindo para x>0.
À medida que |k| aumenta, o vértice se desloca para a direita.

Passo 3

Corte com y=k.
Se y=k então
x = k^2 + 4,z^4,
que é uma curva no plano xz de grau quatro em z. Ela tem formato de “W” simétrico em relação a z=0, com mínimo quando z=0 em x=k^2.

Passo 4

Corte com x=c.
Se x=c então
y^2 + 4,z^4 = c
Para c<0 não há ponto real. Para c=0 só temos (y,z)=(0,0). Para c>0 a curva é fechada e simétrica em relação aos eixos y e z; é uma “elipse deformada” de grau 4 em z.

Passo 5

Juntando tudo, vemos que:
  • Em cada plano z=const surge uma parábola em xy abrindo para x>0.
  • O vértice dessa parábola anda para a direita à medida que |z| cresce.
  • Em cada plano y=const temos uma curva quartica em xz.
    Portanto a superfície é um “vale” que abre para o eixo x, simétrico em y e em z, não é um quadricuádruplo usual (pois tem z^4), mas podemos chamá-la de paraboloide de quarto grau em z.

Resposta

A superfície é dada por
x = y^2 + 4,z^4,
possui nos cortes z=const parábolas em xy e nos cortes y=const curvas quarticas em xz, formando um “paraboloide” que se abre para x>0, simétrico em y e em z.

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