Use cortes para esboçar e identificar as superfícies.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para usar cortes (seções) para esboçar e identificar a superfície dada por
O que vamos precisar é fazer três tipos de cortes:
- Fixar
e ver a curva no plano . - Fixar
e ver a curva no plano . - Fixar
e ver a curva no plano .
Com isso entendemos a forma 3D e “batizamos” a superfície.
Passo 2
Corte com
.
Se a equação vira
Se
que é uma parábola no plano
com vértice em
abrindo para
.
À medida que aumenta, o vértice se desloca para a direita.
À medida que
Passo 3
Corte com
.
Se então
Se
que é uma curva no plano
de grau quatro em
. Ela tem formato de “W” simétrico em relação a
, com mínimo quando
em
.
Passo 4
Corte com
.
Se então
Se
Para
não há ponto real. Para
só temos
. Para
a curva é fechada e simétrica em relação aos eixos
e
; é uma “elipse deformada” de grau 4 em
.
Passo 5
Juntando tudo, vemos que:
- Em cada plano
surge uma parábola em abrindo para . - O vértice dessa parábola anda para a direita à medida que
cresce. - Em cada plano
temos uma curva quartica em .
Portanto a superfície é um “vale” que abre para o eixo, simétrico em e em , não é um quadricuádruplo usual (pois tem ), mas podemos chamá-la de paraboloide de quarto grau em .
Resposta
A superfície é dada por
possui nos cortes
const parábolas em
e nos cortes
const curvas quarticas em
, formando um “paraboloide” que se abre para
, simétrico em
e em
.